Python-算法思维4.0.1迭代算法

第1关：谷角猜想

日本数学家谷角静夫在研究自然数时发现了一个奇怪现象：对于任意一个自然数 n ，若 n 为偶数，则将其除以 2 ；若 n 为奇数，则将其乘以 3 ，然后再加 1。如此经过有限次运算后，总可以得到自然数 1。人们把谷角静夫的这一发现叫做“谷角猜想”。

编写一个程序，由键盘输入一个自然数 n ，把 n 经过有限次运算后，最终变成自然数 1 的全过程保存在列表中并打印出来。

#Student Start
n=int(input())
ls=[n]
while n>1:if n%2==0:n=n//2else:n=n*3+1ls.append(n)
print(ls)
#student End

第2关：阿米巴分裂

阿米巴用简单分裂的方式繁殖，它每分裂一次要用 3 分钟。将若干个阿米巴放在一个盛满营养参液的容器内， 45 分钟后容器内充满了阿米巴。已知容器最多可以装阿米巴 2n(n从键盘输入)个。试问，开始的时候往容器内放了多少个阿米巴？考虑特例，当容器容量较小时，开始1个阿米巴也不需要45分钟就可以充满，答案为1。请编程序算出开始时容器里面的阿米巴个数。

#Student Start
n=int(input())
x=2**n
for i in range(15):x=x//2if x==1:break
print(x)
#student End

第3关：平方根

求平方根的迭代公式：x1=1/2*(x0+a/x0）。算法：

先自定一个初值x0，作为a的平方根值，在我们的程序中取a/2作为x0的初值；利用迭代公式求出一个x1。此值与真正的a的平方根值相比，误差很大。
把新求得的x1代入x0中，准备用此新的x0再去求出一个新的x1.
利用迭代公式再求出一个新的x1的值，也就是用新的x0又求出一个新的平方根值x1，此值将更趋近于真正的平方根值。
比较前后两次求得的平方根值x0和x1，如果它们的差值小于我们指定的值，即达到我们要求的精度，则认为x1就是a的平方根值，去执行步骤5；否则执行步骤2，即循环进行迭代。
输出方程的根x1。

根据输入的n值，计算并输出其平方根，要求精确到小数点后第六位（前后两次计算得到差值小于10的负六次方停止迭代）。

#Student Start
n=eval(input())
x0=n/2
x1=0.5*(x0+n/x0)
while abs (x1-x0)>1e-6:x0=x1x1=0.5*(x0+n/x0)
print('x=%.6f'%x1)
#student End

第4关：牛顿迭代

牛顿迭代公式：假设r是方程f(x)=0的根，选取x0作为r的近似初值，过点(x0,f(x0))作切线L：y=f(x0)+f’(x0)(x-x0)，则L与x轴的交点 x1=x0-f(x0)/f’(x0)称为r的一次近似值。过点(x1,f(x1))做切线与x轴的交点x2=x1-f(x1)/f’(x1) 称为r的二次近似值。重复该过程，得到第n+1交点 xn+1=xn-f(xn)/f’(xn) 称为r的n+1次近似值，这就是牛顿迭代公式。已经证明，如果是连续的，并且待求的零点是孤立的，那么在零点周围存在一个区域，只要初始值位于这个邻近区域内，那么牛顿法必定收敛。并且，如果不为0, 那么牛顿法将具有平方收敛的性能. 粗略的说，这意味着每迭代一次，牛顿法结果的有效数字将增加一倍。迭代法也称辗转法，是一种不断用变量的旧值递推新值的过程，跟迭代法相对应的是直接法（或者称为一次解法），即一次性解决问题。迭代算法是用计算机解决问题的一种基本方法。它利用计算机运算速度快、适合做重复性操作的特点，让计算机对一组指令（或一定步骤）重复执行，在每次执行这组指令（或这些步骤）时，都从变量的原值推出它的一个新值。

使用牛顿迭代法求解给定方程x*3-10x*2-25x+250在输入x0附近的解，精度要求前后两次迭代的差值小于10的负六次方。

#Student Start
def f(x):return x**3-10*x**2-25*x+250
def fp(x):return 3*x**2-20*x-25
x0=eval(input())
x1=x0-f(x0)/fp(x0)
while abs(x1-x0)>=1e-6:x0=x1x1=x0-f(x0)/fp(x0)
print('x=%.6f'%x1)
#student End

求求三连。。。