伪随机序列：LFSR Sequence、m-Sequence和Gold Code/Sequence

线性反馈移位寄存器（Linear Feedback Shift Register，LFSR）

LFSR是一种移位寄存器电路，其中间步骤的两个或多个输出的线性组合会反馈到输入值。这就是为什么LFSR被称为线性反馈移位寄存器，如下图1所示 [1]。从图1中可以看出，LFSR主要由作为寄存器的D触发器和作为反馈运算的异或门组成。

图1. LFSR示例 [1]

更一般地，一个nnn阶的LFSR由nnn个D触发器和若干个异或门组成，如图2所示。其中，gng_ngn为反馈系数，其值只能为0或1。1表示存在反馈回路，0表示不存在反馈回路，且g0g_{0}g0总为1。以上图1中LFSR为例，其反馈系数为g0=1g_0=1g0=1，g1=0g_1=0g1=0，g2=0g_2=0g2=0，g3=1g_3=1g3=1，g4=1g_4=1g4=1。反馈系数决定了哪些中间D触发器的比特会反馈到输入位（D1D_1D1），也即决定了随机数的产生算法。LFSR最右边是输出位（DnD_nDn），输出的序列相应称为LFSR序列（X0,X1,⋯X_0,X_1,\cdotsX0,X1,⋯）。LFSR的工作流程也很简单，每次时钟信号触发，D触发器内寄存的数据会整体位移一位（D1→D2D_1 \rightarrow D_2D1→D2，D2→D3D_2 \rightarrow D_3D2→D3，…，Dn−1→DnD_{n-1} \rightarrow D_nDn−1→Dn），同时一些中间结果的线性组合会反馈到输入位D1D_1D1，而输出位DnD_nDn会输出DnD_nDn寄存的比特值XkX_kXk。

图2. n阶LFSR示例 [2]

更深入点，我们看一下如何数学地描述LFSR序列 [3]：
Xn+k=(∑i=0n−1gn−iXk+i)mod 2,k=0,1,⋯(1)X_{n+k} = \left( \sum \limits_{i=0}^{n-1} g_{n-i} X_{k+i} \right) \text{mod}~2,~k=0,1,\cdots \tag{1}Xn+k=(i=0∑n−1gn−iXk+i)mod 2, k=0,1,⋯(1)

我发现，这里很多文章都搞错了，或者搞不明白，所以我一开始也是被绕晕了，因为看了几份资料，说法不一。还好我死磕下去，按照自己理解和逻辑给理顺了。比如[2]中，将LFSR序列标号弄反了，虽然不能说是错误，但是不严谨，所以我将图2做了修改。

搞清楚上面这个式子，接下来我们再说一下如何去“表示”或“读”一个LFSR。关于这点，我看了一圈，很少有说明白的，甚至大名鼎鼎的sharetechnote都写错了。我这里总结大概有以下几种方法：

（1）抽头序列

什么叫抽头？维基百科的解释是“影响下一个状态的比特位叫做抽头”[4]。我们在这里将抽头形象（但是可能不严谨）地理解为反馈系数（但实际上g0g_0g0并不表示一个比特位），所以抽头序列就是反馈系数的序列。

以图1为例，图1中的LFSR对应的抽头序列是[1 0 0 1 1]（注意是按照递增的顺序，即序列从左往右依次对应g0,g1,⋯,gng_0,~g_1,~\cdots,~g_ng0, g1, ⋯, gn）。

（2）特征多项式

以图1为例，图1中的LFSR对应的特征多项式为f(x)=x4+x3+1f(x) = x^4+x^3+1f(x)=x4+x3+1，或者更简单的表示为[4 3 0]（1相当于x0x^0x0）。我们只要记住D触发器或者反馈系数是按照从左往右，序号依次递增的方式来标号即可（所以我又在图上标了D触发器的序号，这样帮助理解），这样就很容易写出LFSR对应的特征多项式，或者根据特征多项式画出LFSR。

图3. LFSR的表示 [1]

（3）递归公式

以图1为例，图1中的LFSR对应的递归公式为
Xk+4=(Xk+1+Xk)mod 2,k=0,1,⋯(2)X_{k+4} = \left(X_{k+1}+X_{k}\right) \text{mod}~2,~k=0,1,\cdots \tag{2}Xk+4=(Xk+1+Xk)mod 2, k=0,1,⋯(2)
这个对照公式（1）或者图1也很好理解，只要记住图中的输出序列的序号，是从左往右依次递减的，这点和上面的反馈系数和D寄存器的序号规则正好相反。我们从右往左，将图最右边标上XkX_{k}Xk，再依次类推。

最后，我们说一下LFSR的性质 [1]：

如果初始状态相同，那么我们将始终得到相同的输出序列（即输出序列是确定的）。
输出序列趋向于随机序列（伪随机）。
经过一定次数的迭代后，我们将得到与初始状态相同的状态值（最大重复间隔可由2n−1\mathbf{2^{n}-1}2n−1计算得到，其中nnn为D触发器的数目，这里减去的1表示全0态)。

下图4给出了图1中LFSR在初始状态为[1,1,1,1][1,1,1,1][1,1,1,1]的情况下，状态变化和输出序列计算的整个过程。

图4. LFSR序列计算过程示例 [1]

注释：
这里只是概要形象地解释了通信中常遇到的LFSR，实际的LFSR概念要更宽泛，也更复杂。比如，上述介绍的LFSR中，异或门可以替换为同或门 [4]；LFSR一般分外接LFSR（即IE型LFSR或者Fibonacci LFSR）和内接LFSR（EE型LFSR或者Galois LFSR）[2] [4]，但是我们在此不再深入。

最大长度序列（Maximum Length Sequence，MLS）

MLS也叫m-Sequence，其是LFSR序列的一种。m-Sequence区别于一般LFSR序列的地方在于，在D触发器数目相同的情况下，m-Sequence拥有最长的非重复序列，即其重复间隔为2n−1\mathbf{2^{n}-1}2n−1 [2]。

如果一个LFSR序列为MLS，那么其对应的特征多项式必须是一个本原多项式，即为不可约多项式。必要不充分条件为：

抽头数必须为偶数。
抽头之间不能成对出现，必须是互质的。

一些比较典型的MLS如下表1中所示。

表1. 一些典型的m-Sequence [1]

Gold Code

Gold Code是以Robert Gold命名的。Gold Code是指一组特殊的二进制随机（伪随机）序列，该组序列中每个成员/序列之间的相关性很小。由于这种特性（成员序列之间的相关性小），Gold Code被广泛地用作各种无线通信系统的扰码 [6]。

我们可以非常简单地利用m-Sequence来生成Gold Code：选择两个m-Sequence，且这两个序列的移位寄存器的数量相同，然后将这2个序列按位进行异或操作，就会产生Gold Code。下图5给出了LTE中常见的31阶Gold Code生成器电路，其常用于信道编码的加扰、参考信号、循环冗余校验（CRC）。

图5. LTE中使用的31阶Gold Code生成器电路 [7]

上面图5中的31阶Gold Code生成器电路输出的伪随机序列对应的就是下面的这个式子。这个式子我们在通信中，包括LTE和5G NR中会经常碰到，我们会在相应的文章中再具体解释。

Reference

[1]: http://www.sharetechnote.com/html/Handbook_Communication_LFSR.html [2]: http://blog.sina.com.cn/s/blog_62d9edac01015lsd.html [3]: https://wenku.baidu.com/view/38a4fb1aff00bed5b9f31d7a.htm [4]: https://bk.tw.lvfukeji.com/wiki/LFSR [5]: http://www.sharetechnote.com/html/Handbook_Communication_mSequence.html [6]: http://www.sharetechnote.com/html/Handbook_Communication_GoldCode.html [7]: LTE - The UMTS Long Term Evolution: From Theory to Practice, 2nd Edition