文章目录

前言
一、复杂度分析的意义
二、复杂度分析基础
- 1. 大 O O O复杂度表示法
- 2. 时间复杂度分析方法
- - 2.1 加法法则
  - 2.2 乘法法则
- 3. 空间复杂度
总结
- 1. O ( 1 ) O(1) O(1)
- 2. O ( l o g n ) 、 O ( n l o g n ) O(logn)、O(nlogn) O(logn)、O(nlogn)
- 3. O ( m + n ) 、 O ( m n ) O(m+n)、O(mn) O(m+n)、O(mn)

前言

复杂度分析是算法学习的基础，也是算法的精髓。针对每一个数据结构和算法，通过复杂度分析，我们能够更加科学地判断其质量好坏。因此，复杂度分析非常重要。

一、复杂度分析的意义

虽然，我们通过把代码运行一遍，能够很快得出运行时间，内存占用的数据。然而，在实际的生产测试环境中，由于硬件的不同，这种方法不够准确。

另外，当我们使用不同的测试数据，也会对测试结果产生较大影响。比如排序，众所周知，在数据量小的时候插入排序会比快排快很多。在极端情况下，比如数据已经排好序时，有些排序算法甚至不会做任何操作！

而复杂度分析其实就是一种帮助你在不运行代码的情况下，估算代码执行时间和效率的方法。

二、复杂度分析基础

1. 大 O O O复杂度表示法

代码（示例）：

int cal(int n) {int sum = 0;int i = 1;for (; i <= n; i++) {sum = sum + i;}return sum;
}

对芯片来说，代码的每一条语句都执行了类似于：读数据—>运算—>写数据这样的操作。

我们假设每条语句在同一台电脑上的运行时间一样，设为 u n i t _ t i m e unit\_time unit_time。

我们很轻易就能看出来执行第2、3、7行分别需要1个 u n i t _ t i m e unit\_time unit_time，而第4、5行代码循环运行了n遍，需要
( 2 n + 3 ) × (2n+3)\times (2n+3)× u n i t _ t i m e unit\_time unit_time的执行时间。

综上可得，这段很silly的示例代码总的执行时间是
( 2 n + 3 ) × (2n+3)\times (2n+3)× u n i t _ t i m e unit\_time unit_time。通过这个例子，得出一个简单结论，任何一段代码的总的执行时间，记为 T ( n ) T(n) T(n)（该例子中的 ( 2 n + 3 ) × (2n+3)\times (2n+3)× u n i t _ t i m e unit\_time unit_time）与每一条语句的执行次数的累加数（该例子里的 2 n + 3 2n+3 2n+3）成正比。

我们可以把这一规律总结为如下公式：
T ( n ) = O ( f ( n ) ) T(n) = O(f(n)) T(n)=O(f(n))其中 T ( n ) T(n) T(n)表示代码执行的总时间， n n n表示数据规模， f ( n ) f(n) f(n)表示每条语句执行次数的累加和。

套用这个例子中的
T ( n ) = ( 2 n + 3 ) × u n i t _ t i m e = O ( 2 n + 3 ) T(n) = (2n+3)\times unit\_time = O(2n+3) T(n)=(2n+3)×unit_time=O(2n+3)但是，我们并不使用大 O O O表示代码的真正执行时间，而用它来表示代码执行时间随着数据规模增大的变化趋势。

当 n n n很大的时候， f ( n ) f(n) f(n)多项式中的低阶项、常量、系数并不决定增长的趋势，我们忽略这些部分，只保留最大量级，也就是最高阶。

所以，上面例子中的 O ( 2 n + 3 ) O(2n+3) O(2n+3) 应该记为 O ( n ) O(n) O(n)。

2. 时间复杂度分析方法

时间复杂度全称为渐进时间复杂度，表示代码执行时间随着数据规模增大的变化趋势。

2.1 加法法则

代码总的复杂度等于量级最大的那段代码的复杂度

代码（示例）：

int cal(int n) {int sumOne = 0;int k = 1;for (; p <= 100; ++p) {sumOne = sumOne + p;}int sumTwo = 0;int i = 1;int j = 1;for (; i <= n; ++i) {j = 1;for (; j <= n; ++j) {sumTwo = sumTwo + i * j;}}return sumOne + sumTwo;
}

求这段代码复杂度的方法是分别求2-6行，8-19行的代码复杂度，然后求和。

2-6行需要的执行时间是 100 × u n i t _ t i m e 100\times unit\_time 100×unit_time，可以表示为 O ( 1 ) O(1) O(1)。

8-19行需要的执行时间是 ( 2 n 2 + 2 n + 4 ) × u n i t _ t i m e (2n^2+2n+4)\times unit\_time (2n2+2n+4)×unit_time，可以表示为 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)。

而总的时间复杂度，我们取量级最大的那部分代码的时间复杂度。这条法则就是加法公式：

i f if if
T 1 ( n ) = O ( f ( n ) ) ; T 2 ( n ) = O ( g ( n ) ) T1(n) = O(f(n)); T2(n) = O(g(n)) T1(n)=O(f(n));T2(n)=O(g(n))

t h e n then then
T ( n ) = T 1 ( n ) + T 2 ( n ) = m a x ( O ( f ( n ) ) , O ( g ( n ) ) ) T(n) = T1(n) +T2(n) = max(O(f(n)), O(g(n))) T(n)=T1(n)+T2(n)=max(O(f(n)),O(g(n)))
T ( n ) = O ( m a x ( f ( n ) , g ( n ) ) ) T(n) = O(max(f(n),g(n))) T(n)=O(max(f(n),g(n)))

2.2 乘法法则

嵌套代码的复杂度等于嵌套内外代码复杂度的乘积

代码（示例）：

int cal(int n) {int ret = 0;int i = 1;for (; i <= n; i++) {ret = ret + f(i);}
}int fun(int n) {int sum = 0;int i = 1;for (; i <= n; i++) {sum = sum + i;}return sum;
}

根据前面所述的方法我们很容易估算出上述代码中 cal( ) 函数z中4-6行的时间复杂度是 O ( n ) O(n) O(n)，fun( ) 函数的时间复杂度也是 O ( n ) O(n) O(n)。

而我们的乘法法则规定：
i f if if
T 1 ( n ) = O ( f ( n ) ) ; T 2 ( n ) = O ( g ( n ) ) T1(n) = O(f(n));T2(n)=O(g(n)) T1(n)=O(f(n));T2(n)=O(g(n))
t h e n then then
T ( n ) = T 1 ( n ) × T 2 ( n ) = O ( f ( n ) ) × O ( g ( n ) ) T(n) = T1(n)\times T2(n) = O(f(n))\times O(g(n)) T(n)=T1(n)×T2(n)=O(f(n))×O(g(n))
T ( n ) = O ( f ( n ) × g ( n ) ) T(n) = O(f(n)\times g(n)) T(n)=O(f(n)×g(n))

所以，在这个例子中套用乘法公式cal()函数的时间复杂度 T ( n ) = T 1 ( n ) × T 2 ( n ) = O ( n × n ) = O ( n 2 ) T(n) = T1(n)\times T2(n) = O(n\times n) = O(n^2) T(n)=T1(n)×T2(n)=O(n×n)=O(n2)

3. 空间复杂度

空间复杂度仍然使用大 O O O 复杂度表示法。空间复杂度的全称是渐进空间复杂度，表示算法的存储空间与数据规模的增长关系。

public void reverse(int a[], int n) {int tmp[] = new int[n];for (int i = 0; i < n; ++i) {tmp[i] = a[n-i-1];}for (int i = 0; i < n; ++i) {a[i] = tmp[i];}
}

在第3行，申请了一段空间来存储变量 i ，但是这是一个常量阶的，与数据规模n无关，在表示空间复杂度时可以将之省略。而第二行代码中申请的给数组的存储空间的大小是 n ，剩下的代码没有占用更多的空间。所以整段代码的空间复杂度是 O ( n ) O(n) O(n)。

可以与时间复杂度进行类比，常见的类型与之相同，比时间复杂度简单。

总结

虽然代码千差万别，但是常见的时间复杂度并不多。总结一下只有以下这几种：

1. O ( 1 ) O(1) O(1)

只要代码的执行时间不随规模 n n n变化，就是常量级时间复杂度，全部记作 O ( 1 ) O(1) O(1)。

代码（示例）：

int cal(int n) {int sumOne = 0;int k = 1;for (; p <= 100; ++p) {sumOne = sumOne + p;}
}

该段代码复杂度即为 O ( 1 ) O(1) O(1)。

2. O ( l o g n ) 、 O ( n l o g n ) O(logn)、O(nlogn) O(logn)、O(nlogn)

对数阶时间复杂度比较常见，但最难分析。下面用一个简单的具体例子作介绍：

代码（示例）：

int i = 1;
while (i <= n) {i = i * 2;
}

这段代码里的 i 实际上是一个等比数列，i 的取值序列是
2 0 , 2 1 , 2 2 , . . . , 2 x 2^0,2^1,2^2,...,2^x 20,21,22,...,2x。当 i ( 2 x 2^x 2x) > n 时，该循环就会终止。求出 x 的值就是 log ⁡ 2 n \log_2n log2n ，因此这段代码的时间复杂度就是 O ( l o g 2 n ) O(log_2n) O(log2n)。

但是对数的“底”即 log ⁡ 2 n \log_2n log2n 中的2对代码执行时间增加趋势的影响很小，微乎其微，所以我们对于任意复杂度为 O ( l o g a n ) O(log_an) O(logan) 的算法，都把时间复杂度实际记作 O ( l o g n ) O(logn) O(logn)。

3. O ( m + n ) 、 O ( m n ) O(m+n)、O(mn) O(m+n)、O(mn)

有一种比较特别的情况，代码的时间复杂度由数据规模决定，下面看个例子。

代码（示例）：

int cal(int m, int n) [int sumOne = 0;int i = 1;for (; i <= m; ++i) {sumOne = sumOne + i;}int sumTwo = 0;int j = 1;for (; j <= n; ++j) {sumTwo = sumTwo + j;}return sumOne + sumTwo;
}

该例子中的代码里，m 和 n 表示两个无关的数据规模。关于这两个数据规模，因为在事先无法估出谁的量级更大，所以在表示时间复杂度的时候，我们不能省略其中任何一个。综上，上面代码的时间复杂度为 O ( m + n ) O(m+n) O(m+n)。

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前言

一、复杂度分析的意义

二、复杂度分析基础

1. 大 O O O复杂度表示法

2. 时间复杂度分析方法

2.1 加法法则

2.2 乘法法则

3. 空间复杂度

总结

1. O ( 1 ) O(1) O(1)

2. O ( l o g n ) 、 O ( n l o g n ) O(logn)、O(nlogn) O(logn)、O(nlogn)

3. O ( m + n ) 、 O ( m n ) O(m+n)、O(mn) O(m+n)、O(mn)

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