P8294 [省选联考 2022] 最大权独立集问题

题目大意

给出一个二叉树，每个点有点权 d i d_i di，按顺序切断它的 n − 1 n−1 n−1条边，代价是边所连的两个点的权值和，且断边之后两点会交换权值，你的目的是最小化权值和。
n ≤ 5 e 3 n\le5e3 n≤5e3

solution

实乃毒瘤 d p dp dp
很容易想到树形 d p dp dp，但是发现很难设置状态，题目中有一个重要条件，该树是棵二叉树，不妨先观察不同情况的不同短边顺序的点的移动情况

不难发现无论是什么情况，当且仅当一个点经过父边从子树外进来到位置 v v v，一个点 u u u经过父边从子树内出去，且它们的 l c a lca lca为 r r r，即当前讨论的点
所以可以设出状态 f u , v , r = l c a ( u , v ) f_{u,v},r=lca(u,v) fu,v,r=lca(u,v)表示 r r r子树内和 r r r到父亲的边被断， u u u点被移出去，一个点被移到 v v v的最小代价，由于还不知道移进来的是哪个点，所以这个最小代价并不算移进来的点的代价，移进来的点将会在之后的转移中被确定并且代价会被计算

设儿子个数为 d e g r deg_r degr，深度为 d e p u dep_u depu，儿子为 l s u , r s u ls_u,rs_u lsu,rsu

d e g r = 0 deg_r=0 degr=0

显然只有 f r , r = d r f_{r,r}=d_r fr,r=dr

d e g r = 1 deg_r=1 degr=1

观察前面的图不难发现要么 u = r u=r u=r，要么 v = r v=r v=r

u = r u=r u=r时

f u , v = min ⁡ { f i , v + d u } , l c a ( i , v ) = l s u f_{u,v}=\min\{f_{i,v}+d_u\},lca(i,v)=ls_u fu,v=min{fi,v+du},lca(i,v)=lsu

v = r v=r v=r时

f u , v = min ⁡ { f u , j + d u + d r ( d e p j − d e p r ) } , l c a ( u , j ) = l s u f_{u,v}=\min\{f_{u,j}+d_u+d_r(dep_j-dep_r)\},lca(u,j)=ls_u fu,v=min{fu,j+du+dr(depj−depr)},lca(u,j)=lsu

d e g r = 2 deg_r=2 degr=2

u = r u=r u=r时

f u , v = min ⁡ { f i , j + f k , v + d r + d k ( d e p j − d e p r ) } , l c a ( i , j ) = l s u , l c a ( k , v ) = r s u f_{u,v}=\min\{f_{i,j}+f_{k,v}+d_r+d_k(dep_j-dep_r)\},lca(i,j)=ls_u,lca(k,v)=rs_u fu,v=min{fi,j+fk,v+dr+dk(depj−depr)},lca(i,j)=lsu,lca(k,v)=rsu
f u , v = min ⁡ { f i , j + f k , v + d r + d k ( d e p j − d e p r ) } , l c a ( i , j ) = r s u , l c a ( k , v ) = l s u f_{u,v}=\min\{f_{i,j}+f_{k,v}+d_r+d_k(dep_j-dep_r)\},lca(i,j)=rs_u,lca(k,v)=ls_u fu,v=min{fi,j+fk,v+dr+dk(depj−depr)},lca(i,j)=rsu,lca(k,v)=lsu
直接这样转移时 O ( n 4 ) O(n^4) O(n4)，的，但是观察发现可以分别枚举 i , j i,j i,j、 j , k j,k j,k、 k , v k,v k,v，时间复杂度是 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)的

v = r v=r v=r时

同理

u ≠ r , v ≠ r u\not = r,v\not =r u=r,v=r时

同理

r = 1 r=1 r=1时就不做了，直接分析 d e g 1 deg_1 deg1的情况来统计答案
所以总时间复杂度就是 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)的
代码实现比较复杂，枚举 l c a ( u , v ) = r lca(u,v)=r lca(u,v)=r的点对 ( u , v ) (u,v) (u,v)时可以合理的利用 d e f i n e define define来优化代码长度

code

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<vector>
#define ll long long
#define fori(u) for(int _i=dfn[u],i=u;_i<=dfn[u]+siz[u]-1;_i++,i=id[_i])
#define forj(u) for(int _j=dfn[u],j=u;_j<=dfn[u]+siz[u]-1;_j++,j=id[_j])
#define fork(u) for(int _k=dfn[u],k=u;_k<=dfn[u]+siz[u]-1;_k++,k=id[_k])
#define forh(u) for(int _h=dfn[u],h=u;_h<=dfn[u]+siz[u]-1;_h++,h=id[_h])
#define forlca(u,expr) fori(son[0][u]) forj(son[1][u]) expr fori(son[1][u]) forj(son[0][u]) expr i=u;forj(u) expr j=u;fori(u) expr;
using namespace std;
void read(int &res)
{res=0;char ch=getchar();while(ch<'0'||ch>'9') ch=getchar();while('0'<=ch&&ch<='9') res=(res<<1)+(res<<3)+(ch^48),ch=getchar();
}
void read(ll &res)
{res=0;char ch=getchar();while(ch<'0'||ch>'9') ch=getchar();while('0'<=ch&&ch<='9') res=(res<<1)+(res<<3)+(ch^48),ch=getchar();
}
const int N=5e3+10;
const ll inf=1e17;
int n,fa[N+10],son[2][N+10],deg[N+10],dfn[N+10],id[N+10],siz[N+10],dep[N+10];ll d[N+10],f[N+10][N+10],g1[N+10],g2[N+10];
void dfs(int u)
{dfn[u]=++dfn[0],id[dfn[0]]=u,siz[u]=1,dep[u]=dep[fa[u]]+1;if(son[0][u]) dfs(son[0][u]),deg[u]++,siz[u]+=siz[son[0][u]];if(son[1][u]) dfs(son[1][u]),deg[u]++,siz[u]+=siz[son[1][u]];
}
int main()
{freopen("mis.in","r",stdin);freopen("mis.out","w",stdout);read(n);for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=n;j++)f[i][j]=inf;for(int i=1;i<=n;i++) read(d[i]);for(int i=2;i<=n;i++){read(fa[i]);if(son[0][fa[i]]) son[1][fa[i]]=i;else son[0][fa[i]]=i;}dfs(1);for(int r=n,i,j;r>=2;r--){if(deg[r]==0) f[r][r]=d[r];if(deg[r]==1){int u=son[0][r];forlca(u,f[r][j]=min(f[r][j],f[i][j]+d[r]););forlca(u,f[i][r]=min(f[i][r],f[i][j]+d[i]+d[r]*(dep[j]-dep[r]));); }if(deg[r]==2){for(int t=0,v0,v1;t<=1;t++){v0=son[t][r],v1=son[t^1][r];fori(r) g1[i]=g2[i]=inf;forlca(v0,g1[j]=min(g1[j],f[i][j]););forj(v0) fork(v1) g2[k]=min(g2[k],g1[j]+d[k]*(dep[j]-dep[r]));forlca(v1,f[r][j]=min(f[r][j],f[i][j]+g2[i]+d[r]););}for(int t=0,v0,v1;t<=1;t++){v0=son[t][r],v1=son[t^1][r];fori(r) g1[i]=g2[i]=inf;forlca(v0,g1[i]=min(g1[i],f[i][j]+d[r]*(dep[j]-dep[r])););fori(v0) forh(v1) g2[h]=min(g2[h],g1[i]+d[i]*(dep[h]-dep[r]));forlca(v1,f[i][r]=min(f[i][r],f[i][j]+g2[j]+d[i]););}for(int t=0,v0,v1;t<=1;t++){v0=son[t][r],v1=son[t^1][r];fori(r) g1[i]=g2[i]=inf;forlca(v0,g1[j]=min(g1[j],f[i][j]););forlca(v1,g2[i]=min(g2[i],f[i][j]+d[r]*(dep[j]-dep[r])););fork(v1) forj(v0) f[k][j]=min(f[k][j],g2[k]+g1[j]+d[k]);}}}int i,j;ll ans=inf;if(deg[1]==1){forlca(son[0][1],ans=min(ans,f[i][j]+d[1]*(dep[j]-dep[1])););}if(deg[1]==2){for(int t=0,v0,v1;t<=1;t++){v0=son[t][1],v1=son[t^1][1];fori(1) g1[i]=g2[i]=inf;forlca(v0,g1[j]=min(g1[j],f[i][j]););forlca(v1,g2[i]=min(g2[i],f[i][j]+d[1]*(dep[j]-dep[1])););forj(v0) fork(v1) ans=min(ans,g1[j]+g2[k]+d[k]*(dep[j]-dep[1]));}}printf("%lld",ans);return 0;
}