高等代数7.9-最小多项式

最小多项式

根据Hamilton-Cayley\text{Hamilton-Cayley}Hamilton-Cayley定理，对于数域F\mathbb FF上任意矩阵A\bm AA，总存在数域F\mathbb FF上的一个多项式fff使得f(A)=Of(\bm A) = \bm Of(A)=O.如果多项式f(x)f(x)f(x)使得f(A)=Of(\bm A) = \bm Of(A)=O,我们就称f(x)f(x)f(x)以A\bm AA为根.f(x)f(x)f(x)被称为零化多项式.其中次数最低的首一多项式称为A\bm AA的最小多项式.
我们容易证明以下的定理:
引理1 矩阵A\bm AA的最小多项式是唯一的.
引理2 如果f,gf, gf,g是A\bm AA的零化多项式,那么(f,g)(f, g)(f,g)也是零化多项式.
引理3 如果g(x)g(x)g(x)是A\bm AA的最小多项式那么f(x)f(x)f(x)是零化多项式的充分必要条件是g(x)∣f(x)g(x) | f(x)g(x)∣f(x).
引理4 如果A=(A1OOA2)\bm A = \begin{pmatrix}\bm A_1 & \bm O \\ \bm O & \bm A_2 \end{pmatrix}A=(A1OOA2)并且g1(x),g2(x)g_1(x), g_2(x)g1(x),g2(x)分别是A1,A2\bm A_1, \bm A_2A1,A2的最小多项式,那么A\bm AA的最小多项式是[g1(x),g2(x)][g_1(x), g_2(x)][g1(x),g2(x)].同样可推广到一般的准对角矩阵的情形.
引理5 kkk级若尔当块J(λ,k)\bm J(\lambda, k)J(λ,k)的最小多项式为(x−λ)k(x - \lambda)^k(x−λ)k.
由上面的引理我们可以证明如下的定理:
定理14 数域F\mathbb FF上的nnn级矩阵A\bm AA与对角矩阵相似的充分必要条件是A\bm AA的最小多项式是F\mathbb FF上互素的一次因式的乘积.
定理的必要性是显然的.我们不妨设A=diag{a1,a2,⋯,an}\bm A = \text {diag}\{a_1, a_2, \cdots, a_n\}A=diag{a1,a2,⋯,an},假定其中a1,⋯,ara_1, \cdots, a_ra1,⋯,ar为互异的数,那么由引理444,矩阵的最小多项式正是nnn个1×11\times 11×1的矩阵的最小公倍式,亦即∏i=1r(x−ai)\prod_{i = 1}^r (x - a_i)∏i=1r(x−ai).显然是互素的一次因式的乘积.
下面我们来证明定理的充分性.如果数域F\mathbb FF上的nnn级矩阵A\bm AA的最小多项式是F\mathbb FF上互素的一次因式的乘积,不妨假定f(x)=∏i=1s(x−λi)f(x) = \prod_{i = 1}^s (x - \lambda_i) f(x)=i=1∏s(x−λi)是A\bm AA的最小多项式,亦即f(A)=∏i=1s(A−λiE)=Of(\bm A) = \prod_{i = 1}^s (\bm A - \lambda_i \bm E) = \bm Of(A)=i=1∏s(A−λiE)=O那么不难看出Fn=Ker(f(A))=V1⊕V2⊕⋯⊕Vs\mathbb F^n = \text{Ker}(f(\mathscr A)) = V_1 \oplus V_2 \oplus \cdots \oplus V_sFn=Ker(f(A))=V1⊕V2⊕⋯⊕Vs其中Vi=Ker(A−λiE)V_i = \text{Ker}(\mathscr A - \lambda_i \mathscr E)Vi=Ker(A−λiE).也就是说,全空间可分成sss个不变子空间的直和.只需要取每个子空间的一组基,合起来就是全空间的一组基,并且每一个都是特征向量.从而证明了:
数域F\mathbb FF上的nnn级矩阵A\bm AA与对角矩阵相似的充分必要条件是A\bm AA的最小多项式是F\mathbb FF上互素的一次因式的乘积.
我们知道,C\mathbb CC上的矩阵的最小多项式总是可以分解为一次因式的乘积.由上述定理,我们可以得到如下推论:
C\mathbb CC上的矩阵可对角化的充要条件是其最小多项式无重根.

高等代数7.9-最小多项式相关推荐

高等代数线性映射(第9章)3 不变子空间与最小多项式
一.不变子空间与 H a m i l t o n − C a y l e y Hamilton-Cayley Hamilton−Cayley定理(9.5) 1.不变子空间 (1)概念: (2)性质与判 ...
c++求矩阵的秩_高等代数|第八章矩阵最小多项式与若尔当标准形
当公式或文字展示不完全时,记得向左←滑动哦! 本节主要介绍最小多项式与若尔当标准型的相关知识,这是考研中常考的一部分内容,几乎每个院校都有所考察,对于若尔当标准型,请大家先把第八章矩阵的知识掌握,这 ...
寻找线性变换的零化多项式和最小多项式
寻找零化多项式的一种方法摘自邱维声<高等代数(下)>Chapter 10.1, Page 270 可分解成非平凡不变子空间直和形式的线性空间上的线性变换的最小多项式的求法: 摘自邱维 ...
线性变换零化多项式和最小多项式的概念和性质
摘自邱维声<高等代数(下)>Chapter 10.2, Page 270 摘自邱维声<高等代数(下)>Chapter 10.3, Page 276 辨析摘自 The Line ...
【矩阵论笔记】最小多项式与Jordan型的关系
最小多项式方阵A的次数最低.且首一的零化多项式称为A的最小多项式. 最小多项式的一般形式算这个没什么办法,只能暴力计算,从m=1开始算,把A带进去是不是等0. Jordan块的最小多项式是他的特征 ...
行列式因子、不变因子、初等因子、smith标准型、Jordan标准型、最小多项式的matlab实现
版权声明:<–本博客所有内容均为自己在学习工作中的总结.摘录等-- --转载请注明出处-- --如有侵权请联系删除–> https://blog.csdn.net/ai359005521/ ...
利用Sympy计算sin1°的最小多项式
首先我们有 cos36∘=5√+14 \cos36^{\circ}=\frac{\sqrt{5}+1}{4},可以利用顶角为 36∘ 36^{\circ} 的等腰三角形求出,它满足方程 4x2−2x− ...
Matlab求矩阵的最小多项式
使用minpoly函数示例 % 矩阵A >> A=[-7 -12 -6;3 5 3;3 6 2]%{A =-7 -12 -63 5 33 6 2%}% 求矩阵A的最小多项式 >&g ...
【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之矩阵理论（13）：Hamliton-Cayley定理、最小多项式
目录前言往期文章 3.4 Hamliton-Cayley定理.最小多项式定义3.19 Hamliton-Cayley定理定义3.20 定理3.4.1 定理3.4.2 定理3.4.3 定理3.4 ...
如何求矩阵的最小多项式
定义首项系数为1,次数最小,且以矩阵 A A A为根的多项式,称为 A A A的最小多项式,常用 m ( λ ) m(\lambda)

高等代数7.9-最小多项式

最小多项式

高等代数7.9-最小多项式相关推荐

最新文章

热门文章