快速幂的作用

当我们做一些高次幂的计算时，就不能直接进行暴力的计算。例如：需要计算2n2^n2n并且n≤1018n\le 10^{18}n≤1018。这时候如果我们直接进行暴力的计算，时间复杂度为O(n)O(n)O(n)，那么肯定会超时，这时候我们就需要一些更优美的算法来帮我们解决这个问题。

快速幂的实现

思路

首先我们要明确一点，对于一个mnm^nmn，当nnn为偶数时，mn=(m2)n2m^n=(m^2)^\frac n2mn=(m2)2n。
如果知道了这一点我们的问题就迎刃而解了。

求解2k2^k2k。
定义：nownownow为当前的底数，fff为临时存放处。
当kkk为偶数时，now×=now,k/=2now\times=now,k/ =2now×=now,k/=2
当kkk为奇数时，k−−,f∗=nowk--,f*=nowk−−,f∗=now，然后再以kkk为偶数的情况进行计算。
相信大家看了这简单的算法应该都能理解吧。

Code

int quickpow(int n,int k) {long long now=n,f=1;while(k>1) {if(k%2==1) k--,f*=now;if(k) now*=now,k/=2;}return now*f;
}

例题

Input

Output

这一题我们可以明显的看出规律，答案其实就是2n−12^{n-1}2n−1。
快速幂求解即可，时间复杂度O(log(n))O(log(n))O(log(n))

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<cmath>
#define p 1000000007
using namespace std;
long long ans=2,n;
void qpow(long long k) {long long f=1;while(k>1) {if(k%2!=0) f=(ans*f)%p,k--;if(k) ans=(ans*ans)%p,k/=2;}ans=(ans*f)%p;
}
int main() {scanf("%lld",&n);qpow(n-1);printf("%lld",ans);
}

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快速幂详解（超详细！！！）

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