一、哈希表

哈希表的常见作用是把一堆范围较大的数据映射到一个范围较小的集合（一般是1~N）中。这个映射叫作哈希函数（一般直接取模即可，但是可能有不同的数映射后的结果一样，这就是所谓的“冲突”。为了尽可能避免冲突，我们取模的对象应该为质数，并且离2的整数次幂尽可能远。按照冲突的处理方式，存储结构分为开放寻址法和拉链法。前面讲过的离散化是一种特殊的哈希函数）。哈希表的时间复杂度是O（1）。

1.存储结构

（1）拉链法

拉链法的原理是在把像看成一个个槽，在槽上挂一条链表存储对应于像的原像。如图（h表示哈希函数）：
下面我们来看看具体的代码实现吧！其中链表的建立见下图。如果你看了之后还不理解，可以参考XCPC第四站！链表+栈和队列+kmp一网打尽！

#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;
//N取成这个数是因为它是比1e5大的最小的质数
const int N = 1e5+3;
//h数组表示“槽”，存储的是k这个虚拟头节点指向的节点的下标。e数组存储链表各个节点的值，h在这里不表示哈希函数。ne数组存储该节点下一个节点的编号，idx表示当前用到了哪个编号（即下一个节点的编号）
int h[N],e[N],ne[N],idx;
//链表的建立
void Insert(int x)
{//x%N后+N再%N是为了把x很小时（如-1e9）%N后出现的负数变成正数int k = (x%N+N)%N;e[idx] = x;ne[idx] = h[k];h[k] = idx++;
}bool find(int x)
{int k = (x%N+N)%N;//链表的遍历for(int i = h[k];i!=-1;i = ne[i]){if(e[i] == x)   return true;}return false;
}int main()
{int n;scanf("%d",&n);//还记得吗？-1表示NULL。memset(h,-1,sizeof h);while(n--){char op[2];int x;scanf("%s%d",op,&x);if(op[0]=='I')   Insert(x);else{if(!find(x))    puts("No");else    puts("Yes");}}
}

（2）开放寻址法

开放寻址法只开一个一维数组而不需要链表。这个一维数组的经验长度一般为题目给的数据数量的2~3倍，这样冲突的概率较低。它的思路是：假设h(x1)=k(这里h表示哈希函数),又恰巧有h(x2)=k,那么由于x1已经占了前面的槽位，就让x2从前面那个被x1占的槽位往后找槽位，直到找到一个没有被占的槽位。如图：

而查找的时候也是从第k个槽位开始，如果当前槽位有数且是x，那么就找到了；如果当前槽位有数但不是x，就往下一个槽位找；如果当前槽位没有数，说明x没找到。若要删除，则我们不会真的删除数据，而是会在要删除的数据上打一个标记。

#include<iostream>
using namespace std;
//null表示无穷大（一个比x的取值范围还要大很多的数）我们初始化的时候让h的各个元素都等于它，那么如果最后h[k]=null,说明这个位置没有数据
const int N = 200003,null = 0x3f3f3f;
//这里的h数组存的是真正的x的值。h[k]存储的是k这个合法位置的值。
int h[N];int find(int x)
{//由于我们开的槽位要比数据量大很多，因此绝对会有槽位没有被数据占据，因此循环一定能停止int k = (x%N+N)%N;//如果找到了，返回的是x的位置；如果没找到，返回的是x应该在（即可以在)的位置while(h[k]!=null&&h[k]!=x){k++;//如果k已经等于N，说明遍历到尽头，我们就让它重新开始。if(k==N)    k=0;}return k;
}int main()
{int n;scanf("%d",&n);for(int i = 0;i<N;i++)  h[i] = null;while(n--){int x;char op[2];scanf("%s%d",op,&x);int k = find(x);//直接在合法的位置插入x即可if(op[0]=='I')  h[k] = x;else{if(h[k]!=null)   puts("Yes");else    puts("No");}}
}

2.字符串哈希方式——字符串前缀哈希法

字符串的哈希方式分两步，在这两步的基础上，我们通过求出所有前缀和的哈希值就可以得到任意子串的哈希值。如图：

那么我们如何定义某个字符串（或单个字母）的哈希值呢？第一步，我们把字符串的各个字母映射成非零的数字（为什么要求非零一会儿解释），如A->1,B->2,C->3,D->4,E->5。然后我们按照从高位到低位（左边是高位，右边是低位）的顺序写成p进制数据，即（12345）p。我们再把这个p进制的数转化成十进制的数。由于字符串可能很长，这个十进制的数可能很大，因此我们再对某个Q取模，这样最终得到的数就是哈希映射的像了。于是，不能把某个字母映射成0的原因就呼之欲出——如把A映射成0，那么A和AA和AAA……的映射结果是一样的，产生冲突。根据经验，当p取131或13331，Q等于2^64时，认为不会产生冲突。由于这个Q的经验值恰好是2 ^ 64，所以我们直接用unsigned long long存，溢出则相当于余数。那么如何由前缀和得知任意子串的哈希映射的像呢？假定我们知道了h[α0-α1)与h(α0-α2)（这里的α1和α2表示前缀和的终点字母，α0表示起始字母，且假定α1在α2前面），且α1和α2之间有k个字母，那么从α1后一个字母到α2这一段字符串的哈希值为h(α0-α2）-h(α0-α1)*p ^ (k+1)（这里读者试着举一个例子就能明白）。字符串哈希方法能够在O（1）的时间复杂度下判断两个字符串是否相同，比kmp还要厉害。

#include <iostream>
#include<cmath>
#include <cstdio>
#include <string>
using namespace std;
typedef unsigned long long ULL;const int N = 1e5+10;
const int P=131;
//h数组用来存储前缀哈希值，如h[k]表示前k个字母组成的字符串的哈希值。p[k]表示p进制下第k位在10进制下的值
ULL h[N],p[N];
//表示前x个字母组成的字符串的哈希值
ULL have(int x,int y)
{//这里不能用p的幂乘，因为我们需要自动取模！！return h[y]-h[x-1]*p[y-x+1];
}int main()
{int n,m;scanf("%d%d",&n,&m);char str[N];//这里必须要+1！因为根据题目，字符编号要从1开始！scanf("%s",str+1);p[0] = 1;for(int i = 1;i<=n;i++){h[i] = h[i-1]*P+str[i];p[i] = p[i-1]*P;}while(m--){int l1,r1,l2,r2;scanf("%d%d%d%d",&l1,&r1,&l2,&r2);if(have(l1,r1)==have(l2,r2))  puts("Yes");else    puts("No");}return 0;
}

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