克拉默法则

克拉默法则：

若 nnn 个方程 nnn 个末知量构成的非齐次线性方程组
{a11x1+a12x2+⋯+a1nxn=b1a21x1+a22x2+⋯+a2nxn=b2⋯⋯⋯⋯an1x1+an2x2+⋯+amxn=bn\left\{\begin{array}{l} a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\cdots+a_{1 n} x_{n}=b_{1} \\ a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+\cdots+a_{2 n} x_{n}=b_{2} \\ \cdots \cdots \cdots \cdots \\ a_{n 1} x_{1}+a_{n 2} x_{2}+\cdots+a_{m} x_{n}=b_{n} \end{array}\right. ⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧a11x1+a12x2+⋯+a1nxn=b1a21x1+a22x2+⋯+a2nxn=b2⋯⋯⋯⋯an1x1+an2x2+⋯+amxn=bn
的系数行列式 ∣A∣≠0|\boldsymbol{A}| \neq 0∣A∣=0，则方程组有唯一解，且
xi=∣Ai∣∣A∣,i=1,2,⋯,nx_{i}=\frac{\left|\boldsymbol{A}_{i}\right|}{|\boldsymbol{A}|}, i=1,2, \cdots, n xi=∣A∣∣Ai∣,i=1,2,⋯,n
其中 ∣Ai∣\left|\boldsymbol{A}_{i}\right|∣Ai∣ 是 ∣A∣|\boldsymbol{A}|∣A∣ 中第 iii 列元素 (即 xix_{i}xi 的系数) 替换成方程组右端的常数项 b1,b2,⋯,bnb_{1}, b_{2}, \cdots, b_{n}b1,b2,⋯,bn 所构成的行列式。

克拉默法则的推论：

若包含 nnn 个方程 nnn 个末知量的齐次线性方程组
{a11x1+a12x2+⋯+a1nxn=0a21x1+a22x2+⋯+a2nxn=0⋯⋯⋯⋯an1x1+an2x2+⋯+amnxn=0\left\{\begin{array}{l} a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\cdots+a_{1 n} x_{n}=0 \\ a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+\cdots+a_{2 n} x_{n}=0 \\ \cdots \cdots \cdots \cdots \\ a_{n 1} x_{1}+a_{n 2} x_{2}+\cdots+a_{m n} x_{n}=0 \end{array}\right. ⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧a11x1+a12x2+⋯+a1nxn=0a21x1+a22x2+⋯+a2nxn=0⋯⋯⋯⋯an1x1+an2x2+⋯+amnxn=0
的系数行列式 ∣A∣≠0|\boldsymbol{A}| \neq 0∣A∣=0 的充要条件是方程组有唯一零解。

反之，若齐次线性方程组有非零解，充要条件是其系数行列式 ∣A∣=0|\boldsymbol{A}|=0∣A∣=0 .

参考文章：永乐全书P209

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