8.2 欧拉定理（图论）

欧拉定理的描述是：
一个连通图是欧拉图当且仅当每个点的度数是偶数。
要搞懂这个定理，首先要搞懂什么是连通图。所谓连通图是任意两点都能连接（不需要直接连接）的图。那什么又是欧拉图呢？
欧拉图Euler graph，如果图包含一个欧拉环游Euler Tour，那么就是欧拉图。那新概念又来了，什么是欧拉环游？
欧拉环游，是闭合的欧拉迹Euler trail。
欧拉迹，是经过图中所有的边恰好一次的迹。头疼啊！迹又是什么鬼？是不是要崩溃了？我用我未来另一半20年的寿命保证除了迹再也没有新概念了。
迹trail**，是一条边不重复的路径Walk*，路径不是概念哈，就是路径而已。
好了，未来另一半二十年的寿命保住了。下面先用图表示下欧拉迹,用数字和箭头表示了行走路径：

很明显，上图不是闭合的欧拉迹。根据欧拉定理，我们知道有些点的度数为3，是个奇数，所以不是欧拉图，也就不存在欧拉环游，所以不可能走完所有的路径然后再回到原点。
再给个欧拉环游的例子，加一个点，把两个奇度点连起来，变成偶度点，就成欧拉图，如下图所示：
好了，概念都清楚了，现在到了证明阶段。我将分两部分来证明。首先证明必要条件，也就是欧拉图的所有点都是偶数度点。
必要条件证明
设G为欧拉图，u为欧拉环游起点也是终点,u→uu \rightarrow uu→u为欧拉路径，v为欧拉路径经过的任意不为u的点。假设v出现k次（环游是路径只能一次，但是点可以出现多次）。因为欧拉环游经过v时，进入是一个度，离开是一个度。所以v的度数为2k。那么对于u，如果u在路径出出现了kuk_uku次，再加上开始结束的两次，那么u出现的次数就是2ku+22k_u+22ku+2次。那么u也是一个偶数度点。所以所有点都是偶数度点，证明完毕。
充分条件证明
假设G为连通图，并且所有点的度数为偶数。设W为最长的迹（路径），经过了e1…ene_1\dots e_ne1…en，从v0v_0v0出发到vnv_nvn。首先，我们要证明这个迹是闭合的，然后再证明这个迹包含了所有边。
先证明最大迹WWW是闭合的，利用反证法，如果终点VnV_nVn不等于起点V0V_0V0，假设VnV_nVn在迹中出现k次，那么VnV_nVn的度数是2k+1，这是个奇数，不符合假设，所以VnV_nVn就是V0V_0V0，证明完毕。
再证明最大迹WWW包含了所有边。因为前面证明了最大迹W是闭合的，所以这个最大迹W是一个环。又因为图是连通图，所以再次利用反证法，如果最大迹W不包含所有边，那么必存在一条边f，f连接了最大迹W上的某一点v。那么就存在一条新的非闭合迹W2W_2W2，从v出发，沿着W回到v，再连接边f。新的迹W2W_2W2长度比是迹WWW的长度大1，不符合WWW是最大迹的设定。最大迹WWW包含了所有边证明完毕。
最大迹WWW是闭合的，并且包含了所有边，所以是欧拉图。充分条件证明完毕。
充分条件和必要条件都证明了，所以欧拉图论定理证明完毕。
欧拉定理有什么用？我们时常在公众号、短视频里见到一笔画完不能重复的智力题，欧拉定理可以帮我们快速判断能不能不重复地一步画完。例如不会被下面的短视频坑了：

8.2 欧拉定理（图论）相关推荐

数论六之计算几何干货——计算几何模板解释全集及模板检验训练场
文章目录点和向量及运算直线和线段求解点到直线的距离/点在直线上求解点到线段的距离/点在线段上求解两条线段是否相交求解两直线的交点多边形求解多边形面积求解多边形重心求解判断定点与多边 ...
【图论】简单概念及公式入门 ( 完全图 | 二部图 | 连通图 | 欧拉回路 | 哈密顿圈 | 平面图 | 欧拉定理 )
文章目录一.完全图二. 二部图三.完全二部图四. 连通性概念五.连通图六. 图的分支七. 欧拉回路 ( 闭迹 / 回路 ) [ 遍历图中所有的边 | 每个边只经过一次 | 顶点可经过多次 ...
一笔画问题【数据结构-图论】
回家路上听到2个人在说:田字怎么一笔写成,并且笔划不重复. 田我回家想了许久,觉得无论如何走正常的途径肯定是不行的,投机取巧脑筋急转弯的我不讨论. 那么是否可以找到数学定理? 其实就是欧拉七桥问题: ...
扒一扒那些叫欧拉的定理们（三）——简单多面体欧拉定理的抽象形式
早点关注我,精彩不迷路! 在前面的文章中,我们介绍和证明了简单多面体欧拉定理,相关内容请戳: 扒一扒那些叫欧拉的定理们(二)--简单多面体欧拉定理的证明扒一扒那些叫欧拉的定理们(一)--基本介绍和简 ...
SDUT--OJ《数据结构与算法》实践能力专题训练6 图论
A - 数据结构实验之图论一:基于邻接矩阵的广度优先搜索遍历 Description 给定一个无向连通图,顶点编号从0到n-1,用广度优先搜索(BFS)遍历,输出从某个顶点出发的遍历序列.(同一个结点 ...
对编程有着不可磨灭影响——离散数学——图论
思维导图分享链接:https://www.zhixi.com/view/73a5172e 密码:7813 图论图的基础图的基本概念图的定义一个图G定义为一个三元组<V,E,φ>, ...
欧拉定理的应用:Counting regions
欧拉定理的应用:Counting regions Counting regions Niuniu likes mathematics. He also likes drawing pictures. ...
电子科技大学图论期末复习公式索引
title: 图论期末考试复习 date: 2020-08-17 09:01:09 tags: 参考资料:<图论及其应用> 高等教育出版社张先迪 / 李正良仅用于方便复习公式查阅,公式 ...
电子科技大学图论期末复习公式快速索引
title: 图论期末考试复习 date: 2020-08-24 09:01:09 tags: 参考资料:<图论及其应用> 高等教育出版社张先迪 / 李正良仅用于复习参考,公式或多有误 ...

8.2 欧拉定理（图论）

8.2 欧拉定理（图论）相关推荐

最新文章

热门文章