下乒乓球的分

乒乓球比赛的11分制摘要11分制的实行，使比赛的偶然性增加，让一些二三流选手也有机会战胜一流选手。“但这个偶然性应有个度”王家声说，“如果这个偶然性大到世界顶尖高手也纷纷被无名小卒淘汰，三四流选手进决赛，那它就不是好规则了。”本文基于运动员的竞技能力，在认为比赛双方每个球获胜概率是一定的条件下，假定选手A的竞技水平不及选手B，由选手A每局胜率模型，推出A每场胜率模型，从而得出比赛偶然性模型：

并计算出不同赛制下比赛偶然性的大小，如表1。通过图形直观地进行比较和分析后，综合各方面因素，认为偶然性有最大值，且每局比分介于11分和21分之间更为合理，提出每局15分，五局三胜的赛制建议，从而在保证竞技公平性的同时，增加比赛的可观赏性，以达到更好地推广乒乓球运动的目的。最后我们用C语言编程，模拟不同赛制下的比赛情况。

表1赛制 偶然性21分五局三胜11分七局五胜21分三局两胜11分五局三胜

关键词： 偶然性、全概率公式、15分五局三胜制

符号说明μa——选手A的竞技水平μb——选手B的竞技水平σa——选手A水平发挥的稳定性(本文中不考虑，即σa=0)σb——选手B水平发挥的稳定性(本文中不考虑，即σb=0)Oc——比赛的偶然性α——选手A在每一球比赛中的胜率β——选手B在每一球比赛中的胜率(i,j)——一局比赛中，A获得i分，B获得j分S——比赛双方获胜的最少分值(21分制为21分，11分制为11分)P1——每局比赛中A以S获胜的概率P2——每局比赛中A以领先2分获胜的概率Ga——A每局比赛获胜的总概率Ma——A每场比赛获胜的概率

一 问题的重述自2001年起国际乒联对比赛规则做出了重大改革，每局分数由21分改为11分，赛制规定单打的淘汰赛采用由原来的五局三胜制改为七局四胜制，双打淘汰赛和团体赛采用由原来的三局两胜制改为五局三胜制。每局分数的减少，为的是使比赛形成激烈对抗，增大比赛的偶然性。由常识可知，乒乓球比赛的规则如下：采取每球得分制，即每回合无论谁发球，只要该回合获胜则得一???一局比赛中先到21分(11分)的一方该局获胜若出现20比20(10比10)的情况，则先多得两分者为胜方一场比赛由单数局组成，三局两胜或五局三胜或七局五胜我们需要做的是在忽略裁判、观众、球台、心理等因素的条件下，就运动员的竞技水平而言，进行定量分析，从而得出不同赛制下偶然性大小的具体值，结合图形观察偶然性的变化趋势，并综合比赛公平性，可观赏性，比赛用时长短等因素提出更为合理的赛制，进行模拟，并做出评价。

二 问题的分析由于运动员的竞技水平受到多因素的制约，包括力量、技巧、速度、反应能力等，且不同运动员的球风有着各自的特点，要权衡各个方面，对运动员的竞技水平做出综合评价是相当困难的。为了简化模型的讨论，我们认为运动员的竞技水平可用一个标准化的指标μ来衡量，且每一球的胜负不受当前比分的影响，即其竞技水平μ不具有波动性(σa=σb=0)，那么选手A的水平高于选手B的水平则可以表示为μa>μb。比赛的偶然性即为三 模型的假设

对两个选手而言，其每一球取胜的概率是一定的，不受其他因素影响在不影响问题讨论的前提下，认为比赛双方为A和B，仅考虑单打比赛过程中，双方运动员的水平差异是不变的运动员之间不存在干扰，即各自是相互独立的不考虑发球失误的因素

四 模型的建立1．每局胜率模型：我们认为一名优秀运动员竞技水平的发挥是稳定的，不会受到比赛过程中各种客观因素的影响，且其具有良好的心理素质，每球开始前的比分影响可以忽略。因而选手A,B在每一球比赛中的胜率是恒定不变的。比分(i,j)表示A获得i分，B获得j分。用古典概率论的方法计算比赛双方A和B的每局比赛胜率：

情况一：一方先得到S分(21分制为21分，11分制为11分)后即分出胜负

假设选手A获胜时所需要的最少分值为S，则最终可能出现的比分为(S,0)，(S,1),……(S,S-2)。由于每个球的比赛可以看作是一次独立随机试验，因此，在任何一方得分都小于S时，场上比分为(i,j)的概率：

那么选手A若要以S获胜，则必须在比分为(S-1,0),(S-1,1),……(S-1,S-2)时再赢一球，由全概率公式得A获胜的概率为： 情况二：比赛打到(S-1,S-1)，即打到20比20或10比10平对A进行分析(就11分制而言，21分制情况相同)当前比分为10比10，即已打了20个回合回合A胜平局A负备注21，22由于我们只关心A取胜的情况，故A负时的情况可不用考虑23，2425，2627，282n-1,2n同样，由全概率