[work] 如何理解泛函以及变分

作者：毕小喵
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偶有体会，不请自来。
答主上学期学了泛函分析与变分原理，也和泛函分析里面一大堆严谨而琐碎的定理打交道好久。虽然我们都知道一个逻辑上严谨的公理和推论体系是一个学科必要的理论基础，但是作为一个工科生，我还是喜欢用更直观，更实际的角度去观察问题。

以下文章我会尽量以一个大学一年级本科生也能看懂的角度介绍泛函以及它的变分。

首先大家都学过函数。啥叫函数呢？函数就是一个黑箱子，你在箱子这头输入进去一系列数值，经过函数的运算，给你返回一些输出数值。

这个函数，比如最简单的y=x^2，有一个特点，就是它的输入和输出都是数值。

而现在有这样一类问题，它的自变量本身就是一个函数。举个简单的栗子：

有一个曲面滑梯，宝宝把一个小玻璃球放在滑梯顶端让它沿着曲面滑下来。用的时间假设是T1。又有另外一个曲面，高度和第一个滑梯一样，但就是曲面形状不太一样，小玻璃球滑下来用的时间我们假设它是T2。那好奇宝宝就要问了，什么形状的滑梯，能让小玻璃球从这个高度滑下来用的时间最短呢?

Onenote 画的实在有点丑……大家领会精神

在这个问题里，滑梯的形状可以用一个函数Y=Y(x)来表示，每一个滑梯都对应了一个小玻璃球滑下来的时间。其实这就定义了一个泛函，刚才的问题就是各种泛函分析书里面的最速降线问题。通俗的说，函数就是你输入一个数值，返回一个数值。泛函就是你输入一个函数，返回一个数值。还用刚才的图，对比一下：

虽然描述泛函有很多种方式，只要是给出一个函数返回一个数值都叫泛函，但我们一般还是习惯用积分的形式描述泛函。

理解了什么是泛函，再来看看什么是变分：

首先来看什么是函数的微分。我们可以这样去理解：当输入的自变量x发生变化的时候，对应函数值的变化，就是函数的微分。泛函里面，自变量不再是一个数值，自变量变成了一个函数，那么泛函的变分就定义为，当输入的自变函数Y发生变化的时候，对应泛函的值的变化。列表如下：

把泛函的变分和函数的微分并列的写在一起，事情就变得直观了许多。

表格里写出的泛函记法，就是上面说到的用积分的方式描述泛函的记法。x头上哪一个点代表x对时间t求导。说明这个泛函是关于自变函数x和x导数的泛函。直观上可以理解成是关于质点位移和速度的泛函。

至于泛函的变分能干什么用呢？其实我答这道题就是因为我想清楚了虚功原理，最小势能原理和Ritz法，Galkin法的区别和本质。

变分能做的事情多着呢，不妨移步我这一篇回答：力学领域有哪些黑科技？ - 毕绍洋的回答

这几天刚学完具体如何用变分法求解板的问题，有时间找个相关的问题写下我的理解~

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