详细的频域滤波学习笔记（5）--常见的频域滤波器

1.频域滤波的一般步骤
基本的滤波公式有如下形式：

其中F(x,y)是输入图像f(x,y)的DFT，H(u,v)是滤波函数（也成为滤波器，或者滤波传递函数），g(x,y)是滤波后的输出图像，它是由前两者乘积的IDFT得到的。
频域滤波的步骤可以总结为以下几点：
①给定一幅大小为M✖N的输入图像f(x,y),选择填充参数P、Q。一般选择P=2M和Q=2N。
②对f(x,y)添加必要数量的0，形成大小为P✖Q的填充后的图像f_p(x,y)。
③用（-1）^x+y乘以f_p(x,y)移到其变换的中心。
④计算来自步骤③的图像的DFT，得到F(u,v)。
⑤生成一个实的、对称的滤波函数H(u,v)，其大小为P✖Q，中心在（P/2,Q/2）处。用阵列相乘形成乘积G(u,v)=H(u,v)F(u,v);即G(i,k)=H(i,k)F(i,k)
⑥得到处理后的图像：

其中为了忽略由于计算不准确导致的寄生复分量，选择了实部，下标p指出我们处理的是填充后的阵列。
⑦通过g_p(x,y)的左上象限提取M✖N区域，得到最终处理结果g(x,y)。
下图很好的解释了上述步骤:

2.几种常见的滤波器
①理想低通滤波器(ILPF)
在以原点为圆心、以D₀为半径的圆内，无衰减地通过所有频率，而在该圆外“切断”所有频率地二维低通滤波器，称为理想低通滤波器（ILPF）；它由下面的函数确定：

其中，D₀是一个正常数，D(u,v)是频率域中点（u,v）与频率矩形中心的距离，即

由上图（b）所示的滤波器模板，在半径为D₀的圆内，所有频率无衰减地通过，而在此圆之外的所有频率则完全被衰减（滤除）。
低通滤波器可用具有相同截止频率的函数研究其特性而加以比较。建立一组标准截止频率轨迹的一种方法是计算包含规定的总图像功率值P_T的圆。该值是通过求每个点(u,v)处填充后图像的功率谱分量的和得到的，其中u=0,1,2…P-1,v=0,1…Q-1,即

其中P(u,v)是功率值，也就是复数的模（实部和虚部的平方和的开方）。如果DFT已经被中心化，那么原点位于频率矩阵中心处、半径为D₀的圆将包含α%的功率，其中

则总和取处于圆之内或边界线上的(u,v)值。
举个例子，使用一个ILPF平滑图像：

由上图的滤波效果可以看到，除非模糊的目标是消除图像中的所有细节，理想的低通滤波器才能起到作用。在（b）的结果看来，图像中大多数尖锐的细节信息包含在被滤波器滤除的13%功率内。随着滤波器半径的增大，滤除的功率越来越少，模糊也逐渐减弱。可以注意到图像（c）~（e）都有振铃现象，随着被滤除的高频内容的减少，图像的纹理也变得越来越清晰。振铃现象是理想的低通滤波器的一种特性。图像处理中，对一幅图像进行滤波处理，若选用的频域滤波器具有陡峭的变化，则会使滤波图像产生“振铃”，所谓“振铃”，就是指输出图像的灰度剧烈变化处产生的震荡，就好像钟被敲击后产生的空气震荡。

②巴特沃斯低通滤波器（BLPF）
截止频率位于距原点D₀处的n阶巴特沃斯低通滤波器（BLPF）的传递函数定义为

其中

下图显示了该BLPF函数的透视图、图像显示和径向剖面图

与ILPF不同的是，BLPF传递函数并没有通过频率和滤除频率之间给出明显截止的尖锐的不连续性。对于具有平滑传递函数的滤波器，可以在这样一点上定义截止频率，即使得H(u,v)下降为其最大值得某个百分比的点。在BLPF的传递函数中，截止频率点是当D(u,v)=D₀时的点【即H(u,v)从最大值1下降为50%】

使用2阶BLPF处理后的图像如上图所示，与ILPF对比可以注意到，此处模糊的平滑过渡是截止频率增大的函数。此外，使用这种特殊BLPF处理过的任何图像中都没有可见的振铃现象，这要归因于这种滤波器在高频和低频之间的平滑过渡。在空间域的一阶巴特沃斯滤波器没用振铃现象，在二阶滤波器中，振铃现象很难察觉，但是更高阶数的滤波器中振铃现象会很明显。

③高斯低通滤波器（GLPF）
高斯低通滤波器的传递函数有如下形式：

和前面一样D(u,v)是距频率矩形中心的距离，通过令σ=D₀，可以得到

其中，D₀是截止频率。当D(u,v)时，GLPF下降到其最大值的0.607处。
下图展示了GLPF函数的透视图、图像显示和径向剖面图：

下图为使用GLPF处理后的图像,与BLPF相比，相同的截止频率，GLPF平滑效果要稍微差一点，但是可以确切的结论是在GLPF中没有振铃.

④理想高通滤波器(IHPF)
一个二维理想高通滤波器定义为

其中,D₀是截止频率.前面的低通滤波器相反,高通滤波器把半径为D₀的圆内所有频率置零,而毫无衰减地通过圆外的所有频率.
下图展示的是三种高通滤波器的透视图,图像表示和剖面图:

使用IHPF处理后的图像如下所示,可以看出图(a)中的振铃现象相当严重,以至于失真,当加大截止频率后才更像一幅高通滤波后的图片,图©中边缘更清晰,失真更小,而且较小的物体已被正确滤除.

⑤巴特沃斯高通滤波器(BHPF)
截止频率为D₀的n阶巴特沃斯高通滤波器定义为:

很明显,巴特沃斯高通滤波器比理想高通滤波器更加平滑,边缘失真更小,截止频率越大,使用BHPF得到的结果越平滑,下图为BHPF处理的图像:
⑥高斯高通滤波器(GHPF)
截止频率在D₀处的高斯滤波器的传递函数由下式给出:

GHPF对比前两种方法有更好的平滑效果,即使是对微小的物体和细线条使用高斯滤波器滤波,结果也是比较清晰的.下图为GHPF处理的图像:

参考资料:<<数字图像处理>>第三版冈萨雷斯

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