固体物理 2022.10.14

2024-06-10 14:07:51

这个比热容就是对温度求微分，求出来就是 $3NK_B$

按照Dulong-Petit Law 这是不随着温度变化的一个比热形式

对比能量均分定理和Delong-Petit Law

预测所需要炼煤的能量，后续人们逐渐公式是有适用范围的？

做了关于氮化铝等物质以后，发现比热容随着温度变化而变化

常温以上仍然是满足的，但是做低温实验的时候，发现比热容会产生变化？

这个怎么来理解呢？

我们需要新的理论

这里面有更多的时候，heat capacity 都产生随着温度降低而降低这么一个性质，在室温以上相对来说都是一个比较平的性质

但在低温区这个变化就非常剧烈了

加热原子就要运动，在有外界热量影响的情况下，原本的原子就会向新的位置运动

原来是 $\vec R_n$ 变成了 $\vec {R_n}'$ ,由于外界热量的影响

在三维坐标系下的运动，我们可以去矢量化

我们分解到各个维度，每个维度都可以用简谐振动来理解，可以用弹簧，也可以用单摆

关于简写振动，我们以弹簧为例

这个也是经典力学好的地方，如果我们知道受力的形式，我们就可以预测在某个时刻的地点，知道质量，知道恢复系数K，我们就可以预测某个时刻下，atom运动的位置在哪个地方

晶格振动特别在低温情况下，仍然可以看作平衡位置的简谐振动

高温在没有融化的时候，我们也可以稍作理解

A是最大的振幅，我们再推导出

我们可以设平衡位置处等于0

K我们可以用 $m\omega^2$ 来描述

这样的话，我们可以看到整体

当它运动到最远的位移的地方，动能远效于0，然后势能是最大值

势能方程的形式，就是关于X的二次方程的形式，这个是经典条件下，我们已经学过了量子力学，需要把经典的，扩展成量子的领域，量子的范畴

当然这是一个比较有趣的过程，

整体如果做量子化，我们需要用到薛定谔方程，当然这么大的范围，其实也不怎么好理解，如果我们在势能的时候，在这么一段，还是比较像简谐运动的形式的，还是比较符合我们的近似

我们还是以Simple Harmonic Potential 作为基础，这是我们只对近似简谐的一段，进行量子化

我们左边画了无限深势阱，但在实际生活中比较少，大部分情况下都需要近似一下的，一维无限深势阱是大家掌握最好的体系

我们希望把简写运动，想象成比一维无限深势阱稍微复杂一点的简谐势阱

简谐势阱是有适用范围的

我们看一下真实的势能形式

在平衡位置处附近，比较像简谐

我们进行泰勒展开，在平衡位置附近，进行展开，最后得出来的结果就和简谐非常像了，

我们再强调一下，除了平衡位置附近，其他地方就不是简谐势阱了，在平衡位置附近，这个结合力，结合能是一种简谐的运动，那对于这个简谐运动，我们进行量子化

在量子的范畴里面，这是一个比较基本的模型，用的次数比较多，比如就可以理解原子平衡位置附近的这么一个运动，这个简谐势阱，不仅可以形容描述，比较小的particle 运动的行为

也是量子电动力学的基础，或者是量子化的电磁场的基础

或者是量子场论的基础，所以这个是一个比较重要的模型，我们也花一点时间来继续的推导（我们不得不推导），这也是量子场论的基础

力学发展

首先，我们还是要从牛顿力学向量子力学发展一下，从力学发展的层次来看，主要分为四个阶段

牛顿力学（对人类进行启蒙）-》经过250年的发展，有分析力学体系，主要的代表人物是拉格朗日和哈密尔顿，与它相平行的有一个统计力学，最后发展到量子力学

所以说我们学的这些，统计力学，量子力学，还都是力学，研究力的，研究运动的，研究物体运动的这么一门学科，牛顿力学是最经典的，主要的就是可以分析宏观物体的运动，大到星系运动也都是可以分析和理解的，经典的简谐振动是可以预测的，所以我们可以通过牛顿力学测算出行星运行的轨迹，预测出日食，月食

分析力学是对于牛顿力学进一步的优化，比如说三体问题，就是分析力学着重解决的问题，可以理解为对牛顿力学加入了很多工具，特别是拉格朗日第一个算出三体运动《论三体运动》是拉格朗日的经典著作，可适用的范围是比较类似的，后续的统计力学，是以大量的统级作为基础的，在统计的过程中需要用到概率，这样的话对大量物体运动就比较容易求解了、

牛顿力学比较容易单个物体，更为复杂的三体运动就需要分析力学进行精确的解析，统计力学是对更大量物体的解析能力，这样的话出的结果就是统计的结果，平均值的概念就已经出来了

从可预测到平均也是我们人类认识世界的一个进步，可以接受平均值，量子力学的不可预测性就出来了，我们需要上帝扔一下色子，就有不可预测性，纯粹的概率波

但是我们仍然可以写出力学方程，仍然是一个概率波

这个是关于力学的发展

我们直接进行算符化的

H是哈密顿算符，大家可以看到哈密顿算法没有任何量子力学的东西，不能一听到就认为是量子力学，现在还是在分析力学

哈密顿的贡献，就是把我们的动能和势能加起来，以总能量来研究系统

势能我们已经写出来，这样一个哈密顿算符，这一步还没有进入量子化，下一步进入量子化

算符化是量子力学的五大假设之一，出现算符我们就知道慢慢进入量子领域，我们很多都可以进行算符化，我们用到了动量算符化，带入之后，把量子算符代入分析力学的哈密顿表达式

我们就得到了量子化的哈密尔顿算符，在分析力学的基础上加上量子化的算符，我们就进入薛定谔方程应用的范畴了

进行量子化的哈密顿算符之后，我们加上向上的三角号，与分析力学的哈密尔顿算符进行区分

我们就可以把哈密顿算符代入波函数中，对波函数进行作用

这是稳态薛定谔方程，然后我们就要进行求解

我们需要在简谐振动的势能下面，求解薛定谔方程

在简谐振动势能条件下的薛定谔方程，得出来的波动方程是在简谐化的势能中运动的

求解薛定谔方程

我们下面进行求解

首先我们根据在一维无限中的经验来看，也是一些离散不连续的能级，会有一系列离散化的能级

我们现在就对我们的薛定谔方程进行化简，我们用了一个 $\xi$

这里面需要用微分传递的性质，我们可以得到关于X的二次微分，我们可以化简成，

我们代入进来，可以得到

第一项是关于 $\xi$ 的二次微分，后面是常数项减去二次微分项，这个二次微分方程也是有通解的，这个通解就是我们需要进一步，对这个二次微分形式，进行变化，我们需要把常数的一项进行带入

这个方法就像要查字典一样，都是有最优路径的，这个里面我们只是介绍最优路径的选择

上面仍然是我们的条件，面对比较复杂的方程的时候，我们先从简单的方向入手，比如说 $\xi -> \infty$ 我们就可以进行简化，就是很远的地方，就是靠近抛物线的上端点，这个时候就可以把 $\lambda$ 省略掉，我们就可以把方程简化成这么一个形式

我们就可以进行求解了

简单来看，对于e指数的二次微分还是它的本身

我们下面进行验根，我们首先检查＋，代入进去以后，相减之后多出现了一个项，所以这个根就会被舍掉

我们继续验证负号的这个根

我们按照＋的思路进行验证，这个其实相当于是给了我们一个界限，我们目前为止仍然没有求出函数，但是给我们了一种收敛系数的概念，这个在微分方程求解中是非常关键的

经常的收敛系数，就是e指数的负无穷，对于0和无穷来讲，如果是一个稳定的系统，大家肯定是想要他收敛的，这是收敛系数这么一个概念，大概就是-的x的平方除以2

我们先是简单的看一下界限在哪里，想要让微分方程有意义，我们已经求得了一个系数项，求出这个系数项之后继续求解

把无穷非收敛的值，把无穷收敛到有限，这个是微分方程求解，经常用到的情况

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