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对Hopf分岔现象及分析与的研究.doc21页

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对Hopf分岔现象的分析与研究

前言

微分方程理论在自动控制、航天技术、生态生物等方面一直有着广泛的应用，在这些实际应用中，系统通常都是一些含有参数的微分方程组。考虑如下形式的系统：

(1)

其中，是充分光滑的函数，为参数或者其它自由参数。系统(1)的解显然随参数的变化而变化。如果在的一个小邻域内变化时，系统(1)在相空间的相图拓扑结构发生了变化，那么就称系统发生了分岔，称为分岔参数，为分岔值。

分岔是一种十分普遍的现象，而且它对把握系统解的性质和行为有着十分重要的意义。分岔包括静态分岔和动态分岔。非线性方程解的拓扑性质在参量取临界值时发生突变，这样的分岔称为动态分岔；非线性方程的顶太数目在参量的临界值发生突变，这样的分岔称为静态分岔。

由轨迹图像可知，系统方程的解的轨迹从初值点出发，最终在单位圆上无限循环。此时的初值点在圆内，那么保持参数a=1不变,取x0=(1,0)(圆上),运行代码得到图像如下所示：

通过上图发现，这时候系统方程的解的轨迹其实就是一个单位圆()。参数a=1不变，再取x0=(1,1)(圆外点)，运行代码，得到如下相图:

此时，系统方程相图的轨迹是向里环绕，最终在单位圆无限循环。

取多组初值点，通过编写MATLAB代码，得到x0分别取不同值时的结合相图如下所示：

由此图，可知，对于相同的参数a值，选择不同的初值点产生的轨迹不同。虽然解的轨迹最终都是在单位圆上无限循环，但是初值为圆内点的轨迹会向外趋近，圆上点的轨迹就为单位圆，圆外点的轨迹会向里趋近于单位圆。

初值为(1,1)，当a取4,6,20或者更大的正数时，它的相图如下所示：

a=4时的相图为：

a=6时的相图为：

a=20时的相图为：

总结发现，当a分别取4,6，20等更大的正数时，它的相空间拓扑结构类似(不论初值点的选取是在圆内，圆上，还是圆外，相图的轨迹最终都会在一个闭轨圆上无限循环，圆的半径与a的取值有关，圆的半径r=)。这种情况下相图的轨迹也最终会在一个闭轨圆上无限循环，经过查找资料，这就是数学中所谓的极限环(极限环：若动力系统在闭轨的某个环形临域内不再有孤立的闭轨，即为孤立闭轨，则称它为极限环)。

那么当a取值接近于0时，通过选取不同的a值，来观察系统方程的相空间结构会不会发生改变。取a值为0.01，初值点选为(0.1,0.1)，此时初值点在圆外。然后分别取圆上点、圆内点，如果迭代次数够多的话，此系统的相空间轨迹最终都会走向同一个极限环(此时的极限环半径为0.1)。其相图分别如下所示(迭代次数为100000)：

(初值点选为圆外点时的相图：

(初值点选为圆上点时的相图：

(初值点选为圆内点时的相图：

通过上述相图结构发现，系统方程的相图并没有发生本质上的变化。这是由于参数取值的变化(更接近于0),事实上，整个相空间的结构还是一样的。

那么a取更接近0的正数，a取0.0001，分别取初值在圆内、上、外的初值点，运行代码，其相图分别如下所示:

通过对上述情况总结，发现其相空间拓扑结构并没有发生太大改变，极限环依然存在，只是极限环的半径变小了。

当a取0值时，分别选取多个初值点，如果迭代次数够多的话，最终都不会形成一个极限环。例如取初值点为(1，1)，其相图如下所示(迭代次数为1000000)：

继续研究，当a取负值时，设定参数a=-0.0001，初值点为(1,1)，运行代码，其相图如下所示：

同样，选取初值点为x0(-5,-8),运行代码，相图如下所示：

通过观察上述两个相图，迭代次数如果足够大的话，发现当时，系统方程的相图不再产生极限环。这就说明了参数的微小变化(a的取值从0.00001变到0，然后再变到-0.00001)导致了系统方程相空间的拓扑结构发生了本质的变化。

继续对a赋值，让a=-1，-4，-20，任意取初值点，运行代码，发现其相空间结构都类似下图(选取了四个初值点)：

(下图为a=-4时

通过总结发现，当时，系统方程的相图不再产生极限环。

通过总结上述所有相图，明显的看出，当时，原点是稳定焦点，并且相空间结构图不存在闭轨；当时，原点变为不稳定的焦点，并且存在唯一的闭轨(为极限环的半径)，它是稳定的极限环。

形象的说，也就是，当a的值增大而通过0的一瞬间，奇点的稳定性发生翻转，同时一个稳定的极限环从奇点“跳出”，并且随着a的增大而逐渐扩大，这种现象就叫做Hopf分岔(数学上分岔研究的是非线性微分方程当某一参数变化时其解发生突变的临界点附近的行为)。

备注：在定义函数的代码中，a与的意义等同，在这里为了方便操作，故选取参数为a;在定义函数H时，也可以采用其他的函数名；参数的变化时通过每次运行程序之前对它的取值

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