动态规划——最优二叉搜索树
(二叉搜索树即二叉排序树,该题并不是问如何构造最优二叉树,而是如何在二叉搜索树中达成最优搜索效率)
简而言之,这个最优二叉搜索树的每个根节点都大于左子树的任一元素,小于其右子树的任意元素,相当于用根节点x将这个有序集分成了<x的左部分和>x的右部分。
看到这个题目立马就想到了递归与动态规划相结合的思想。根据我们对最优子结构的学习,整体若要取得最优结构,局部也应当取得最优结构,根据动态规划法的思想,我们应当从内到外构建,使得由内到外每一层次都为最优子结构。
设有n=5个关键字的集合,每个在叶节点k i 的概率p i 和在内部结点d i 的概率q i 如表所示:其中
不过这个题目还引入了存取概率分布的因素,给出一个有序集S以及存取概率分布,因为对于所有元素的每轮搜索只有两种结果:1.在二叉树内部搜索到。2:在叶结点确定x不属于该子树。每个结点所有概率之和即Σa+Σb=1。而对于一个给定的ab概率集合,我们每进行一层搜索,其期望代价花费越高,我们只需对比总体期望代价,总体期望代价越小说明我们访问的结点越少,就越快找到。总的来说,因为我们只知道树是按二叉排序树结构构成的,而不知道具体结点的值和位置,因此需要对比查找到的X数学期望,将期望代价更低的搜索方法视为最优结构。
根据该概率集合可能产生的树结构
期望代价=访问结点数 * 概率
访问结点数=比较次数+1
总体期望代价=每层期望代价之和(最优子结构思想)
如果我们查找的总体期望代价是最低的,就代表这是最优查找
此外还有改进算法,在已知s存储最优子结构的根节点的情况下,用i1,j1区分[i][j]的左右子树期望代价数组m[i][i1],m[j1][j],其中当s[i][j-1]>i,说明i一定在s[i][j-1]的左子树内那么求m[i][j]的期望代价实际就是求左右区间m【i】【s[i][j-1]】和m【i】【s[i+1][j]】的期望代价之和,直接使得i1=s[i][j-1],反之i1=i,j1亦然。直接求出左右子树期望代价最小值
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