万向节锁(Gimbal Lock)的理解
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作者:psklf
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结论
我直接抛出结论:
Gimbal Lock 产生的原因不是欧拉角也不是旋转顺序,而是我們的思维方式和程序的执行逻辑没有对应,也就是说是我们的观念导致这个情况的发生。
他人解释
首先我们看一下欧拉角的定义:
用一句话说,欧拉角就是物体绕坐标系三个坐标轴(x,y,z轴)的旋转角度。
在这里,坐标系可以是世界坐标系,也可以是物体坐标系,旋转顺序也是任意的,可以是xyz,xzy,yxz,zxy,yzx,zyx中的任何一种,甚至可以是xyx,xyy,xzz,zxz等等等等。。。。。。所以说欧拉角多种多样。欧拉角可分为两种情况:
1,静态:即绕世界坐标系三个轴的旋转,由于物体旋转过程中坐标轴保持静止,所以称为静态。
2,动态:即绕物体坐标系三个轴的旋转,由于物体旋转过程中坐标轴随着物体做相同的转动,所以称为动态。
网上的文章,一般都是这样解释的:
是指物体的两个旋转轴指向同一个方向。实际上,当两个旋转轴平行时,我们就说万向节锁现象发生了,换句话说,绕一个轴旋转可能会覆盖住另一个轴的旋转,从而失去一维自由度
通常说来,万向节锁发生在使用Eular Angles(欧拉角)的旋转操作中,原因是Eular Angles按照一定的顺序依次独立地绕轴旋转。让我们想象一个具体的旋转场景,首先物体先绕转X轴旋转,然后再绕Y轴,最后绕Z轴选择,从而完成一个旋转操作(飘飘白云译注:实际是想绕某一个轴旋转,然而Eular Angle将这个旋转分成三个独立的步骤进行),当你绕Y轴旋转90度之后万向节锁的问题就出现了,因为X轴已经被求值了,它不再随同其他两个轴旋转,这样X轴与Z轴就指向同一个方向(它们相当于同一个轴了)。
看得懂吗?我是看不太懂~
我的理解
我们先来考虑一下,旋转到底是怎么个旋转法。
静态的情况很好理解,怎么旋转都不会有问题,万向节的问题是不会出现在静态的旋转过程中的。但是你想像一下动态的旋转,动态的旋转,这里会有两个坐标系,看清楚了,两个坐标系!
- 世界坐标系
- 物体坐标系
那么这两者是什么关系呢?
一开始,这两个坐标系是重合的,但是旋转开始以后,世界坐标系不会变化,物体坐标系随着旋转就发生变化了。
亲爱的读者,你们先想想,这两个坐标系的关系,你们觉得物体旋转是绕着那个坐标系旋转的?
你会说:
你刚刚不是说了嘛!是绕着物体的坐标系旋转的!
对,没有错,那么在物体旋转的时候,物体的坐标系是不是一直在变化呢?是的!那么我們在给他旋转的参数的时候考虑到这个问题了吗?没有!
就是说我给他的旋转的参数是基于一种假设:每一次旋转都是以物体的坐标系为参考来进行的。就是说我是希望它每一次旋转前,都能够将旋转参数在物体坐标系上进行计算。很简单,一架飞机,作为机长,每次旋转以后他跟着飞机旋转了,后面的旋转操作自然是基于新的物体坐标系来的。
但是实际上,程序解析我给的数据的时候,只是简单地将三个轴的旋转一个个的相乘,也就是说,总的来说还是在最开始的那个坐标系(也就是一直不动的世界坐标系)下面计算的。而且需要注意的是: 每一次进行计算的顺序是确定不变的! 这也是为什么有人会说万向节问题是因为旋转顺序导致的樂。
看一下在OpenGL 实现旋转的代码:
void configRotateTrans(GLfloat radX, GLfloat radY, GLfloat radZ) {GLfloat xTrans[4][4] = {0};GLfloat yTrans[4][4] = {0};GLfloat zTrans[4][4] = {0};GLfloat tempMatrix[4][4] = {0};xTrans[3][3] = 1;xTrans[0][0] = 1;xTrans[1][1] = cosf(radX);xTrans[1][2] = -sinf(radX);xTrans[2][2] = cosf(radX);xTrans[2][1] = sinf(radX);yTrans[3][3] = 1;yTrans[0][0] = cosf(radY);yTrans[0][2] = sinf(radY);yTrans[2][2] = cosf(radY);yTrans[2][0] = -sinf(radY);yTrans[1][1] = 1;zTrans[3][3] = 1;zTrans[2][2] = 1;zTrans[0][0] = cosf(radZ);zTrans[0][1] = -sinf(radZ);zTrans[1][0] = sinf(radZ);zTrans[1][1] = cosf(radZ);// Multiply the 3 matrix // rotateTrans = xTrans * yTrans * zTransmultiMatrix(xTrans, yTrans, tempMatrix);multiMatrix(tempMatrix, zTrans, rotateTrans);
看懂了吗,物体最终在哪个位置是简单粗暴地将绕xyz三个旋转的矩阵连续相乘得到的,计算的顺序是x->y->z,那么比如用户先输入绕y轴转90度,再输入绕x轴转90度。其实程序执行的时候,还是会先将x轴的数据进行计算,再计算y轴的数据。但是如果用户先输入绕y轴转90度,再输入绕z轴转90度,程序还是按照x-y-z的顺序来,只是正好用户也是这样输入。
现在我們明确了两点:
- 物体的旋转是以世界坐标系为参考的。
- 物体旋转的顺序是确定的,和用户输入的旋转的顺序无关。
那么还是刚刚那两种情况:
操作A:
用户第一次输入: 绕Y轴转90度,第二次输入:绕X轴转90度。
实际程序运行:先繞X轴转90度,再绕Y轴转90度。
操作B:
用户第一次输入: 绕Y轴转90度,第二次输入:绕Z轴转90度。
实际程序运行:先繞Y轴转90度,再绕Z轴转90度。
现在发挥一下想象力,当物体绕Y轴转动90度以后,物体坐标系的X轴和世界坐标系的Z轴是不是变成了同一个轴?好的,那么这个时候,用户无论输入的是绕X轴转还是绕Z轴转,最终物体转动是不是都是绕着这个轴(世界Z轴/物体X轴)。上面的操作A和操作B的结果是一样的!
这就是Gimbal Lock,这并不是什么缺陷,陷阱,而是我們的思维方式是错误的,所以导致这个问题的出现。
参考资料:GimbalLock万向节锁与四元数旋转
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