问题

在银行放100元一年，可以收到多少利息（银行1年储蓄利率是10%）？

直觉的答案（第一种策略）

100∗10%=10(元)100*10\%=10(元) 100∗10%=10(元)
但，这就是所能得到的最多的利息吗？

可以获得更多利息的策略

第二种策略：存半年后取出，然后再把收到的本息和存入银行
半年后，收到的本息和为
100∗(1+10%2)=105(元)100*(1+\frac{10\%}{2})=105(元) 100∗(1+210%)=105(元)
然后再次存入，最后得到的利息为
105∗(1+10%2)−100=10.25(元)105*(1+\frac{10\%}{2}) - 100=10.25(元) 105∗(1+210%)−100=10.25(元)
第三种策略：每存一个季度后就取出，然后把收到的本息和继续存入银行
100∗(1+10%4)4−100≈10.38(元)100*(1+\frac{10\%}{4})^4-100\approx10.38(元) 100∗(1+410%)4−100≈10.38(元)
第四种策略：每存一个月后就取出，然后把收到的本息和继续存入银行
$
100∗(1+10%12)12−100≈10.47(元)100*(1+\frac{10\%}{12})^{12}-100\approx10.47(元) 100∗(1+1210%)12−100≈10.47(元)
第五种策略：每存一天后就取出，然后把收到的本息和继续存入银行
100∗(1+10%365)365−100≈10.52(元)100*(1+\frac{10\%}{365})^{365}-100\approx10.52(元) 100∗(1+36510%)365−100≈10.52(元)

策略	利息收入
第一种策略（年初存、年末取）	10元
第二种策略（存半年取出，再存入）	10.25元
第三种策略（每存一个季度后取出，再存入）	10.38元
第四种策略（每存一个月后取出，再存入）	10.47元
第五种策略（每存一天后取出，再存入）	10.52元

思考：很显然，第五种策略也不是理论上的最高收益，因为还可以半天取出、一小时取出等等，下面借助于数学进行分析。

数学分析

收益公式

从第一种策略到第五种策略中变化的是每年复利的次数，在金融工程中用复利频率一词来进行表示，即第一种策略的复利频率是1，第三种策略的复利频率是4，而第五种策略的复利频率是365。

在此基础上，我们可以归纳出如下的收益公式：将数量为A的资金投资n年，假设利率是一年复利mmm次，那么投资的终值为
A(1+Rm)mnA(1+\frac{R}{m})^{mn} A(1+mR)mn
显然，复利频率mmm趋于无穷大时得到的结果就是理论上能得到的最高收益，即
lim⁡m→+∞A(1+Rm)mn\lim\limits_{m\to+\infty}A(1+\frac{R}{m})^{mn}m→+∞limA(1+mR)mn

最高收益公式

预备知识

在计算最高收益之前，先介绍两个微积分中常用的极限公式
lim⁡x→0ln(1+x)=xlim⁡x→0(1+x)1x=e\lim\limits_{x\to0}ln(1+x)=x \\ \lim\limits_{x\to0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=e x→0limln(1+x)=xx→0lim(1+x)x1=e

第一种方法

首先，令
y=lim⁡m→+∞A(1+Rm)mny = \lim\limits_{m\to+\infty}A(1+\frac{R}{m})^{mn} y=m→+∞limA(1+mR)mn
然后，对两边取对数，可以得到
lny=lnA+lim⁡m→+∞mn(1+Rm)lny=lnA+\lim\limits_{m\to+\infty}mn(1+\frac{R}{m}) lny=lnA+m→+∞limmn(1+mR)
由于lim⁡x→0ln(1+x)=x\lim\limits_{x\to0}ln(1+x)=xx→0limln(1+x)=x（预备知识中的第一条）
因此lim⁡Rm→0(1+Rm)=Rm\lim\limits_{\frac{R}{m}\to0}(1+\frac{R}{m})=\frac{R}{m}mR→0lim(1+mR)=mR
因此，
lny=lnA+mnRm=lnA+nR=lnAenRlny=lnA+mn\frac{R}{m}=lnA+nR=lnAe^{nR} lny=lnA+mnmR=lnA+nR=lnAenR
然后，就可以得到最终的最高收益公式
y=AenRy=Ae^{nR} y=AenR

第二种方法

对式子进行相应的转化
y=lim⁡m→+∞A(1+Rm)mn=A[lim⁡Rm→0(1+Rm)mR]nRy = \lim\limits_{m\to+\infty}A(1+\frac{R}{m})^{mn}=A[\lim\limits_{\frac{R}{m}\to0}(1+\frac{R}{m})^{\frac{m}{R}}]^{nR} y=m→+∞limA(1+mR)mn=A[mR→0lim(1+mR)Rm]nR
由于lim⁡Rm→0(1+Rm)mR=e\lim\limits_{\frac{R}{m}\to0}(1+\frac{R}{m})^{\frac{m}{R}}=emR→0lim(1+mR)Rm=e（预备知识中的第二条）
所以
y=AenRy=Ae^{nR} y=AenR

答案

根据公式y=AenRy=Ae^{nR}y=AenR可以计算得到理论上的最多利息为
100∗e0.1−100≈10.52(元)100*e^{0.1} - 100 \approx 10.52(元) 100∗e0.1−100≈10.52(元)
这个精确到小数点后两位的数值与第五种策略（按天复利）所得的结果一样。在大多数实际情况下，我们可以认为连续复利与每天复利等价，但实际上还是有一定的差异的。
100∗(1+10%365)365−100≈10.5156(元)100*(1+\frac{10\%}{365})^{365}-100\approx10.5156(元) 100∗(1+36510%)365−100≈10.5156(元)
100∗e0.1−100≈10.5171(元)100*e^{0.1} - 100 \approx 10.5171(元) 100∗e0.1−100≈10.5171(元)

连续复利利率

在金融工程中。复利频率m趋于无穷大时所对应的利率叫连续复利（continuous compounding）利率，该利率在衍生产品定价中的应用非常广泛。对一笔资金以利率R连续复利n年相当于乘上eRne^{Rn}eRn 项。而对一笔在第n年后的资金以利率R按连续复利进行贴现，其效果是相当于乘上e−Rne^{-Rn}e−Rn。

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