单位冲击函数卷积

§0-2 单位冲击函数 d -Function 一、定义 §0-2单位冲击函数 d -Function 一、定义 (续) 定义3: 设任意函数f(x)在x = 0点连续, 则 §0-2 d -函数 二、性质 1. 筛选性质 sifting (由定义3直接可证) 设f(x)在x0点连续, 则 §0-2 d -函数 二、性质 (续) 3. 乘积性质 §0-2 d -函数 三、 d -函数 的阵列--梳状函数 comb(x) §0-2 d -函数 三、 d -函数 的阵列--梳状函数 comb(x) 梳状函数与普通函数的乘积: 练习 0-4：已知连续函数f(x)，若x0>b>0,利用d 函数可筛选出函数在x= x0+b的值，试写出运算式。 0-5: f(x)为任意连续函数， a>0, 求函数 g(x)= f(x)[d(x+a)- d(x-a)] 并作出示意图。 0-6：已知连续函数f(x)， a>0和b>0 。求出下列函数： (1) h(x)= f(x)d(ax-x0) (2) g(x)= f(x)comb[(x- x0)/b] §0-2 d -函数 练习 §0-2 梳状函数 练习 0-6(2) 练习 0-7 画函数图形 §0-3 卷积 convolution一、概念的引入例题 用宽度为 a 的狭缝，对平面上光强分布f(x)=2+cos(2pf0x) 扫描，在狭缝后用光电探测器记录。求输出光强分布。 卷积 概念的引入 §0-3 卷积 convolution一、概念的引入 (II) 成像系统 §0-3 卷积 convolution一、概念的引入 §0-3 卷积 convolution二、定义 若f(x)与h(x)有界且可积, 定义 §0-3 卷积 convolution三、计算方法--借助几何作图 §0-3 卷积 convolution三、计算方法--几何作图法 卷积 概念的引入：回到前面的例题 计算这个卷积: 练习 作业 0-8 §0-3 卷积 convolution四、性质 §0-3 卷积 convolution四、性质 (续) §0-3 卷积 convolution五、包含脉冲函数的卷积 作业 0-9. 利用梳函数与矩形函数的卷积表示线光栅的透过率。假定缝宽为a，光栅常数为d，缝数为N. 0-10. 利用包含脉冲函数的卷积表示下图所示双圆孔屏的透过率。若在其中任一圆孔上嵌入p位相板，透过率怎样变化？ 利用卷积性质求卷积的例子作业 0-11 ：用图解法求图示两个函数的卷积f(x) * h(x) 作业: 0-10 (解) * * fn(x)可以是Nrect(Nx), Nsinc(Nx), NGaus(Nx), 二维圆域函数等等. 物理系统已无法分辨更窄的函数 定义1. 定义2. 基于函数系列的极限 : 练习: 画出rect(x), 10rect(10x), sinc(x), 10sinc(10x) 的示意图. 可描述: 单位质量质点的密度, 单位电量点电荷的电荷密度, 单位光通量点光源的发光度, 单位能量无限窄电脉冲的瞬时功率 等等. 0 x d (x) 1 1 0 x d (x,y) y d -函数的图示: f(x)称为检验函数. 证明思路:二者对检验函数在积分中的作用相同.(练习) 推论: d (x)是偶函数 2. 缩放性质 scaling 与普通函数缩放性质的区别: 普通函数:因子a不影响函数的高度,但影响其宽度 d-函数:因子a不影响函数的宽度,但影响其高度 通过此积分,可从f(x)中筛选出单一的f(x0)值. 设f (x)在x0点连续, 则: f (x)d (x-x0) = f (x0)d (x-x0) 任意函数与d-函数的乘积,是幅度变化了的d-函数 练习：计算 sinc(x)d (x) 2. sinc(x)d (x-0.5) 3. sinc(x)d (x-1) 4. (3x+5) d (x+3) 表示沿 x 轴分布、间隔为1的无穷多脉冲的系列. 例如：不考虑缝宽度和总尺寸的线光栅. 间隔为t 的脉冲系列: 定义: n为整数 f(x) 0 x = x 0 x comb(x) . 0 利用comb(x)可以对函数f(x)进行等间距抽样. x y 二维梳状函数: comb(x,y)= comb(x) comb(y) 0-4: 0-5: 0-6: g(x) = f(x)[d (x+a)-d (x-a)] = f(x) d (x+a) - f(x)d (x-a) = f(-a) d (x+a) - f(a)d (x-a) h(x) = f(x) d (