极限题型一：求函数极限常见题型

0/0型 ①洛必达 ②等价无穷小代换 ③泰勒公式

遇到两个根号相减→方法一：有理化方法二：拉格朗日中值定理(两个函数值的差)

遇到tanx-sinx→想到tanx=sinx/cosx，sinx=tanx•cosx 提取出公因子→tanx-sinx=tanx(1-cosx)

遇到1-cosx→等价代换 $\frac{1}{2}x^{2}$ 遇到x-ln(1+x)→等价代换 $\frac{1}{2}x^{2}$

遇到两个以e为底的指数函数相减→方法一：提取相同因子，变乘积，使得括号内 $e^{\left ( ax+b\right )}-1$ 等价代换ax+b(前提指数趋于0)。方法二：拉格朗日中值定理(看做两个函数值的差)

遇到在相减的式子中有单个的cosx→可以根据另外几个数的阶级，泰勒展开 $cosx=1-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{4}}{4!}+o\left ( x^{4}\right )$ 【出现函数值的差值都可以试一下拉格朗日中值定理！】

遇到分子是arctanx-sinx→增减一项x：(arctanx-x)+(x-sinx)~ $-\frac{1}{3}x^{3}+\frac{1}{6}x^{3}$ 【加减关系中可以用等价无穷小代换的条件：减法中两减项不等价 $lim\frac{a_{1}}{b_{1}}\neq 1$ ，a-b～a1-b1；加法中两加项 $lim\frac{a_{1}}{b_{1}}\neq -1$ ，a+b～a1+b1】

遇到积分区间为0到x的定积分→不好积时可以等价代换化简，eg.0到x的定积分fln(1+t的平方)dt～ft的平方dt=1/3x的三次方 x+sinx→等价代换2x

遇到x趋于0，(1+x)^a→等价代换ax

【推广到a(x)趋于0，a(x)b(x)趋于0， $[1+a(x)]^{b(x)}$ →等价代换a(x)b(x)】多用于出现幂指函数时(底数包含x,指数也包含x)，把底数凑成1+a(x)的形式再用等价代换

【推广到x趋于0， $(1+x)^{x}$ →等价代换 $x^{2}$ 】

同时遇到cosx，e^x，ln(1+x)→泰勒展开式

遇到x趋于0时x+ln(1-x)→=ln(1-x)-(-x)~ $-\frac{1}{2}\left ( -x \right )^{2}$

∞/∞型 ①洛必达 ②分子分母同除以分子和分母各项中最高阶的无穷大

【怎么找出最高阶的无穷大？】常用的一些无穷大趋向无穷的速度快慢比较：当x→+∞时，对数函数<<幂函数<<指数函数（都是比较规范的函数：对数函数的底数大于0，幂函数的幂次大于0，指数函数的底数大于1）武忠祥P12

遇到x趋于-∞时→注意无穷大趋向无穷的速度快慢比较：是当x→+∞时，所以这里特别注意，分子和分母各项中最高阶的无穷大有可能是（-x），而不是x

∞-∞型 ①分式差：通分变成0/0型 ②根式差：根式有理化 ③∞-∞型，提出无穷因子，再等价代换or变量代换(eg.令x=1/t)or泰勒公式

遇到cotx→转化成 $\frac{1}{tanx}$

∞-∞型，分式差：通分后遇到 $tanx^{2}-x^{2}$ → $(tanx-x)(tanx+x)$ ，等价代换 $tanx-x\sim \frac{1}{3}x^{3},tanx+x\sim 2x$

等价代换：x趋于0时 $x-ln(1+x)\sim \frac{1}{2}x^{2}$ 【推广到x趋于∞时 $\frac{1}{x}-ln(1+\frac{1}{x})\sim \frac{1}{2}\frac{1}{x^{2}}$ 】

【 ∞-∞型：可提出无穷因子 $x^{2}$ ，再等价代换】

【遇到幂指函数，先取对数，保持恒等！】eg. $(ax+b)^{cx}=e^{ln(ax+b)^{cx}}=e^{cxln(ax+b)}$

综合复杂题，用到多种方法：部分是∞/∞型→分子分母同除各项中最高阶的无穷大，整体是∞-∞型分式差→通分，出现幂指函数→取对数保持恒等，基本极限x趋向+∞时lim(1+1/x)^x=e

①前半部分是∞/∞型，先尝试化简→分子分母同除各项中最高阶的无穷大 $x^{x}$ ， $\frac{x^{1+x}/x^x}{(1+x)^{x}/x^x}=\frac{x}{(1+\frac{1}{x})^{x}}$

②整体是∞-∞型分式差→通分，分子中提出无穷因子x

③分母中出现基本极限 $\lim_{x\rightarrow +\infty }(1+\frac{1}{x})^{x}=e$ ，极限非零的因子的极限可以先提出 $=\frac{1}{e^{2}}\lim_{x\rightharpoonup +\infty }x\left [ e-(1+\frac{1}{x})^{x} \right ]$

④幂指函数→取对数,保持恒等： $(1+\frac{1}{x})^{x}=e^{xln(1+\frac{1}{x})}$

$=\frac{1}{e^{2}}\lim_{x\rightharpoonup +\infty }x\left [ e-e^{xln(1+\frac{1}{x})} \right ]=-\frac{1}{e}\lim_{x\rightharpoonup +\infty }x\left [ e^{xln(1+\frac{1}{x})-1}-1 \right ]$

⑤等价代换：x趋于0时 $e^{x}-1\sim x$ ，式中 $e^{xln(1+\frac{1}{x})-1}-1\sim xln(1+\frac{1}{x})-1$

$=-\frac{1}{e}\lim_{x\rightharpoonup +\infty }x\left [ xln(1+\frac{1}{x})-1\right ]$

⑥再凑出一个等价代换：x趋于0时 $x-ln(1+x)\sim \frac{1}{2}x^{2}$

$=-\frac{1}{e}\lim_{x\rightharpoonup +\infty }x^{2}\left [ ln(1+\frac{1}{x})-\frac{1}{x}\right ]=-\frac{1}{e}\lim_{x\rightharpoonup +\infty }x^{2}\left ( -\frac{1}{2} \frac{1}{x^{2}}\right )=\frac{1}{2e}$

0×∞型 ①化成0/0型 ②化成∞/∞型

再用0/0型 ①洛必达②等价无穷小代换③泰勒公式；∞/∞型 ①洛必达②分子分母同除以分子和分母各项中最高阶的无穷大

题型：0×∞型，带绝对值求极限

【特殊的等价代换：x趋向于1时，lnx=ln[1+(x-1)]~x-1】

★0×∞型，化成∞/∞型【注意把复杂的对数函数ln放在分子上】，再用洛必达

遇到带绝对值的时候用洛必达→其实只需分类讨论：x＜1时，[ln|1-x|]’=[ln(1-x)]’= $\frac{-1}{1-x}$ ；当x＞1时，[ln|1-x|]’=[ln(x-1)]’= $\frac{1}{x-1}=\frac{-1}{1-x}$ 。综上可得[ln|1-x|]’= $\frac{-1}{1-x}$ 。

$1^{\infty }$ 型 ①凑基本极限 ②幂指函数取对数改写成指数函数 ③利用结论

若limα(x)=0，limβ(x)=∞，且limα(x)β(x)=A，则lim $\left [ 1+\alpha \left ( x \right ) \right ]^{\beta \left ( x \right )}$ = $e^{A}$

【方法③最简单，三步走：(1)写标准型原式=lim $\left ( 1+\alpha \right )^{\beta }$ (2)求极限 lim $\alpha \beta$ =A (3)写结果原式= $e^{A}$ 】

遇到一个复杂的幂指函数→可以拆成两个简单的幂指函数分别求极限

【选择题中出现常数a，也可以用特殊值法设a=0来化简式子】

遇到cos2x→想到化开cos2x= $cos^{2}x-sin^{2}x$ = $1-2sin^{2}x$

$\infty ^{0}$ 和 $0^{0 }$ 型，这类极限的函数一定是幂指函数lim $\left [ f\left ( x \right ) \right ]^{g\left ( x \right )}$ ①幂指函数取对数，保持恒等lim $e^{g\left ( x \right )lnf\left ( x \right )}$ 。

化为0·∞型 ①化成0/0型 ②化成∞/∞型

遇到求幂指函数嵌套幂指函数的极限

★先判断出极限的类型:

【幂指函数比较多也没关系，挨个取对数保持恒等即可】