【知识总结】分块和值域分块
分块思想
分块思想是对原数据适当的划分，并且在划分后的每一个块上预处理部分信息，从而优化算法。
大体思路就是：
- 对于给出的序列按照固定的块长 ( 一 般 为 n ) (一般为\sqrt n) (一般为n )进行分块，预处理出每个块中询问的信息
- 在询问时，答案可以分为三部分：中间完整的块，左端点所在不完整的块，右端点所在不完整的块。对于第一种，通过上一步预处理的信息直接获得答案。对于第二种和第三种，暴力遍历一遍区间求得答案。
- 假设块长为 n \sqrt n n ，那么询问时，第一种的时间复杂度为 O ( 1 ) O(1) O(1)或 O ( n ) O(\sqrt n) O(n )，后两种的时间复杂度为 O ( n ) O(\sqrt n) O(n )。整体时间复杂度为 O ( n n ) O(n\sqrt n) O(nn )
很经典的数列分块入门题
值域分块思想
- 当序列的数都 < = 1 e 5 <=1e5 <=1e5时一般都可以用值域分块
- 用来统计区间里有多少个数的值在固定区间 [ v a l l , v a l r ] [vall,valr] [vall,valr]里
- 一般和莫队结合使用
题目解析
luoguP4867 Gty的二逼妹子序列
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- 对于区间问题不难想到离线算法的莫队，但是莫队没有办法维护权值的范围，考虑再套一种数据结构。
- 由于 1 < = a i < = n 1<=a_i<=n 1<=ai<=n并且没有修改操作，进行值域分块，注意一些计算贡献的小细节，时间复杂度 O ( n n ) O(n\sqrt n) O(nn )
luoguP4396 [AHOI2013]作业
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- 跟上题一样，再多开一个数组维护数的个数就好了
LOJ6285.数列分块入门 9
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- 一个很经典的题，求众数离线可以莫队，在线可以分块；
- 按照一般的思路去想，分块后的答案来源
- 左端点 q l ql ql所在块的众数，右端点 q r qr qr所在块的众数， b e l o n g [ q l ] + 1 belong[ql]+1 belong[ql]+1到 b e l o n g [ q r ] − 1 belong[qr]−1 belong[qr]−1的块的众数
- 对于每一种可能，我们都统计出现的次数，最后更新答案就好；
- 可以用一个 v e c t o r vector vector存储每个数出现的下标，计算每个数在某个区间的出现次数就可以二分找。
- 由于 a i a_i ai的范围过大，需要离散化。要注意离散化后统计答案的过程，有一些细节；
- 那么前两种可能性我们都可以直接枚举每个数出现的次数，第三种呢，枚举显然不现实；
- 预处理出 d p [ i ] [ j ] dp[i][j] dp[i][j]表示第 i i i块到第 j j j块的众数，时间复杂度 O ( n n ) O(n\sqrt n) O(nn )
牛客 仓鼠与珂朵莉
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- 跟上题区别不大，多乘一个价值就好了
- 注意强制在线 l , r l,r l,r的处理
CF455D Serega and Fun
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- 考虑操作 1 1 1对操作 2 2 2的影响，分块后每次移动的时候，只有首项跟尾项元素会对答案产生影响。对每个块多加个deque维护一下。
- 由于 1 < = a i < = n 1<=a_i<=n 1<=ai<=n，对每个数都记录一下出现的次数，还要维护 c [ i ] [ j ] c[i][j] c[i][j]表示第 i i i块里 j j j出现的次数；
- 更新的时候，注意处理整块与非整块的关系
牛客 小 Q 与彼岸花
O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)题解
O ( n n ) O(n\sqrt n) O(nn )题解
- 对于最大异或值一般的解法都是放到 01 01 01字典树上去跑，这题也不例外。但是对于 m m m个询问来说，每次都对于 [ l , r ] [l,r] [l,r]重新建立字典树显然时间和空间都不允许，所以这时候就可以用可持久化字典树来查询 [ l , r ] [l,r] [l,r]的字典树啦
- 这样的话时间也还不是很够，考虑再怎么进行优化。可以进行分块操作，因为整块区间的值都是固定的，设 d p [ i ] [ j ] dp[i][j] dp[i][j]表示第 i i i块到第 j j j块之间的任取两个数的最大异或值，这个显然可以预处理出来。借鉴分块求区间众数的预处理思想,时间复杂度为 O ( n n l o g n ) O(n\sqrt n log n) O(nn logn)
- 对于查询，考虑答案的构成：中间整块的最大异或值，左端点所在非完整块的最大异或值，右端点所在非完整块的最大异或值；第一种就是预处理的 d p dp dp数组的值，后两种可以枚举每一个数，贪心的在 [ l , r ] [l,r] [l,r]的字典树上查找最大异或值，时间复杂度为 O ( 2 n l o g n ) O(2\sqrt n logn) O(2n logn)
强化版
一些有用的链接
Codeforces 455D 学长题解
仓鼠与珂朵莉 学长题解
分块入门 渊佬题解
分块入门 涛巨题解
待补的题
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