线性代数(二十二) :行列式的展开式
本节根据置换的和多重线性函数来推导行列式的展开式
0 回忆行列式函数D的性质
(i) 若存在i不等于j有ai= aj 则D(a1,...,an)=0;
(ii)D是其自变量的多重线性函数
(iii)D(e1,...,en)=1;
(iv)若D是其自变量的交错函数,即如果交换ai和aj,则D的值将改变一个因子(-1)
1 行列式函数D的展开式
(1)定义函数D(a1,a2,...,an)是以a1,a2,...,an为列的矩阵的行列式其自变量aj是列向量:
因此函数D满足行列式的性质
(2)根据性质(ii)D是多重线性函数,于是有:
接下来,将a2表示成e1,e2,...,en的线性组合进而得到一个nxn项的公式。上述步骤重复n次可以得到:
其中的求和号表示从{1,...,n}到{1,...,n}的全体映射ff求和如果f不是置换,则存在i不等于j使得fi = fj 于是根据性质(i)有:
这说明只需对群体置换求和即可。
(3)由于每一个置换都可以分解成对换的乘积根据性质(iv)对D做一次对换,D的值将改变一个因子(-1),
再由置换的性质可知:
(4)综合上边的式子可以得到:
这样就用自变量的分量表示出了D,也就是求出了矩阵行列式的展开式。
(5)矩阵行列式展开式的例子:
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