欧几里得应用及其拓展

先来介绍一下欧几里得的应用

欧几里得定理主要用于求两个数的最大公约数

核心等式 gcd(a,b)=gcd(b%a,a) 前提是a不等于0

证明：

　　证明两个正数大小相等可以转换为证明这两个整数可以相互整除

　　先设d=gcd(a,b) 现在证明d | gcd(b%a,a)

　　b%a=b-[b/a]*a,由于b%a是a与b的线性组合，故有d | （b%a)又因为d | a，所以gcd(a,b) | gcd(b%a,a)成立

　　下证gcd(b%a,a) | gcd(a,b)成立

　　设gcd(b%a,a)=d, 则有d | (b%a)以及d | a;

　　又因为b%a=b-[b/a]*a，所以 d | b-[b/a]*a+[b/a]*a，也就是说d | b,所以有gcd(b%a,a) | gcd(a,b)成立

　　得证！

给定 n 对正整数 ai,bi，请你求出每对数的最大公约数。

输入格式

第一行包含整数 n。

接下来 n 行，每行包含一个整数对 ai,bi。

输出格式

输出共 n 行，每行输出一个整数对的最大公约数。

数据范围

1≤n≤10^5
1≤ai,bi≤2×10^9

输入样例：

2
3 6
4 6

输出样例：

3
2

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int gcd(int x,int y)
{return x==0?y:gcd(y%x,x);
}
int main()
{int n;cin>>n;int a,b;while(n--){cin>>a>>b;printf("%d\n",gcd(a,b));}return 0;
}

下面来介绍一下扩展欧几里得及其应用

先引入一下裴蜀定理：对于任何一对整数a,b，对于a*x+b*y=gcd(a,b)一定有解

接下来我将通过构造解的方法来证明这个定理

a*x1+b*y1=gcd(a,b) (b%a)*x2+a*y2=gcd(b%a,a)

由欧几里得定理我们可以知道gcd(a,b)=gcd(b%a,a);

则a*x1+b*y1=(b%a)*x2+a*y2①

(b%a)*x2+a*y2 = (b-[b/a]*a)*x2+a*y2 = a*(y2-[b/a]*x2)+b*x2②

①②a与b对应相等，可知 x1=y2-[b/a]*x2 y1=x2

由此我们可以通过递归求出x,y;

给定 n 对正整数 ai,bi，对于每对数，求出一组 xi,yi，使其满足 ai*xi+bi*yi=gcd(ai,bi) 。

输入格式

第一行包含整数 n。

接下来 n 行，每行包含两个整数 ai,bi。

输出格式

输出共 n行，对于每组 ai,bi求出一组满足条件的 xi,yi每组结果占一行。

本题答案不唯一，输出任意满足条件的 xi,yi均可。

数据范围

1≤n≤10^5
1≤ai,bi≤2×10^9

输入样例：

2
4 6
8 18

输出样例：

-1 1
-2 1

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{if(a==0){x=0;y=1;return b;}int d=exgcd(b%a,a,y,x);x-=b/a*y;return d;
}
int main()
{int n,a,b;cin>>n;while(n--){cin>>a>>b;int x,y;int t=exgcd(a,b,x,y);printf("%d %d\n",x,y);}return 0;
}

下面引入一道欧几里得扩展的变形题目

给定 n 组数据 ai,bi,mi，对于每组数求出一个 xi，使其满足 ai×xi≡bi(modmi)，如果无解则输出 impossible。

输入格式

第一行包含整数 n。

接下来 n 行，每行包含一组数据 ai,bi,mi。

输出格式

输出共 n 行，每组数据输出一个整数表示一个满足条件的 xi，如果无解则输出 impossible。

每组数据结果占一行，结果可能不唯一，输出任意一个满足条件的结果均可。

输出答案必须在 int 范围之内。

数据范围

1≤n≤10^5,
1≤ai,bi,mi≤2×10^9

输入样例：

2
2 3 6
4 3 5

输出样例：

impossible
-3

/*题目分析：
a*x≡b (mod m) 有解等价于存在y使得a*x-m*y=b
由此题目转化为扩展欧几里得定理的应用
我们可以用扩展欧几里得定理求出a*x-m*y=gcd(a,m)的系数
也可以看出方程有解的条件是gcd(a,m)|b
最后别忘了将解乘以gcd(a,m)|b
*/

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{if(a==0){x=0;y=1;return b;}int t=exgcd(b%a,a,x,y);int tx=x,ty=y;x=ty-b/a*tx;y=tx;return t;
}
int main()
{int n;cin>>n;int a,b,x,y,m;while(n--){cin>>a>>b>>m;int t=exgcd(a,m,x,y);if(b/t*t==b) printf("%lld\n",(long long)x*(b/t)%m);//求得是关于gcd(a,b)的等式，所以最后要乘以 b/telse printf("impossible\n");}return 0;
}

拓展：

若关于二元方程 AX+BY=gcd（A，B）已经通过拓展欧几里得找到一组解X0，Y0，则可得到二元方程AX+BY=C的一组解X1=X0*（C/gcd（A，B）），Y1=Y0*（C/gcd（A，B）），则方程AX+BY=C的通解为X=X1+n*（B/gcd（A，B）），Y=Y1-n*（A/gcd（A，B））；

若求一个数x在模n下的最小解，则可利用取余的方法来求：x=（x%n+n）%n；（前提n是正数）

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