用于精准判断的贝叶斯定理

说起贝叶斯定理，不得不说条件概率，所谓“条件概率”（Conditional probability），指在事件B发生的情况下，事件A发生的概率，用P(A|B)来表示。条件概率计算公式为P(A|B) = P(AB)/P(B)。

条件概率公式是一个定义公式，或者说是公理化的，不好证明和推导。只能通过逻辑来理解了，AB都发生的概率可以理解成B发生的概率乘以B发生的情况下A发生的概率，也即P(AB)=P(B)P(A|B)，两边除以P(B)，得到P(A|B)=P(AB)/P(B)。

举个例子：根据大量数据统计，大熊猫活到十岁的概率是0.8，活到十五岁的概率是0.6，若现有一只大熊猫已经十岁了，则他活到十五岁的概率是多少？

根据条件概率公式：P(15岁|10岁)=P(15岁*10岁)/P(10岁)，大熊猫活到十五岁，显然就活过了十岁，所以P(15岁*10岁)=P(15岁)，则P(15岁|10岁)=P(15岁)/P(10岁)=0.6/0.8=0.75。

理解了条件概率后，我们再来看看贝叶斯定理。

贝叶斯定理由英国数学家贝叶斯 ( Thomas Bayes 1702-1761 )提出，即：P(A|B)=P(B|A)P(A)/P(B)。
有了条件概率公式，贝叶斯定理的推导和证明非常简单。
根据条件概率定义：

P(A|B)=P(AB)/P(B),同理P(B|A)=P(BA)/P(A)

则:P(AB)=P(A|B)P(B),P(BA)=P(B|A)P(A)

P(AB)表示A、B同时发生的概率，P(BA)表示B、A同时发生的概率，根据交换律，P(AB)=P(BA)

所以，P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)

则：P(A|B)=P(B|A)P(A)/P(B)

贝叶斯定理本身和其证明过程都简单明了，看起来不起眼，但在实际应用中却显示出了令人吃惊的强大！

在举实例之前，先了解下贝叶斯定理中的一些概念，把贝叶斯公式作下变形，得到如下形式：

P(A|B) = (P(B|A)/P(B))*P(A)

其中，把P(A)称为“先验概率”（Prior probability），即在B事件发生之前，我们对A事件概率的一个判断。P(A|B)称为“后验概率”（Posterior probability），即在B事件发生之后，我们对A事件概率的重新评估。P(B|A)/P(B)称为“调整因子”，调整因子可以大于1，也可以小于1，即B事件发生后，对A事件发生的概率是增强作用还是削弱作用。

即贝叶斯定理可表述成：

后验概率 = 调整因子 * 先验概率

当然还有把P(B|A)称为“似然度”，P(B)称为“标准化常量”等。但个人认为不掺杂太多的概念，先把贝叶斯定理理解成“后验概率 = 调整因子 * 先验概率”的方式更利于对该定理的理解。

贝叶斯定理在做判断上的应用：

（1）有两个碗，1号碗里有30颗水果糖和10块巧克力糖，2号碗里有20颗水果糖和20块巧克力糖。然后把碗盖住。随机选择一个碗，从里面摸出了一颗水果糖。问题：这颗水果糖来自1号碗的概率是多少？

P(1号碗|水果糖)=(P(水果糖|1号碗)/P(水果糖))*P(1号碗)

1).P(水果糖|1号碗)前面算过=3/4；

2).两个碗的选择是随机的，所以P(1号碗)=1/2;

3).P(水果糖)，两个碗总糖果数是30颗水果糖+10块巧克力糖+20颗水果糖+20块巧克力糖=80，水果糖的数量是30+20=50，因此P(水果糖)=50/80=5/8；（注意这里是特例，因为选择两个碗的机会相等，两个碗中糖果的数量又都一样，一般情况下需要使用全概率公式计算。）

4).因此，P(1号碗|水果糖)=((3/4)/(5/8))*(1/2)=3/5。

5).这个例子我们需要关注的是信息条件：抓出的是水果糖。如果没有这个条件的存在，先验概率P(1号碗)=1/2(50%)，有个这个条件后，后验概率提升到了3/5(60%)。

看到这里，很多朋友就要问了，能解决这个例子又有什么用呢？现实世界可不是摸个水果糖这么简单。我们再看下一个例子：

（2）北京地区肝癌发病率为万分之四（0.0004），使用甲胎蛋白法检测，患者确实得病的情况下，99%呈现阳性，患者没有得病的情况下，0.1%呈现阳性。现在一个患者肝癌检测出阳性，问题：该患者患肝癌的概率是多少？

我们把这两个应用对应下：

有两个碗（一个患肝癌碗，一个不患肝癌碗），1号碗里有水果糖99个（阳性糖99个），巧克力糖1个（阴性糖1个），2号碗里有水果糖1个（阳性糖1个），巧克力糖999个（阴性糖999个），随机选择一个碗，从里面摸出了一颗水果糖（阳性糖）。问题：这颗水果糖（阳性糖）来自1号碗（患肝癌碗）的概率是多少？

看到没，除了水果糖和巧克力糖的数量不一样，其他是不是一模一样的！

我们来计算下：

P(患肝癌|阳性)=(P(阳性|患肝癌)/P(阳性))*P(患肝癌)

1).P(阳性|患肝癌)=0.99；

2).P(患肝癌)=0.0004

3).P(阳性)的计算稍微复杂些，在这第二个例子中，患肝癌碗和不患肝癌碗的选择机会是不均等的，2个碗中糖果的数量也不一样。一般的，采用全概率公式来计算P(B)。设事件A为患肝癌，A^-为不患肝癌，显然A和A^-是互斥和完备的，构成全集空间，则根据全概率公式（推导过程见最后）：P(B)=P(A)P(B|A)+P(A^-)P(B|A^-)。P(阳性)=P(患肝癌)P(阳性|患肝癌)+P(不患肝癌)P(阳性|不患肝癌)=0.0004*0.99+(1-0.0004)*(0.001)=0.001392

4).因此，P(患肝癌|阳性)=(P(阳性|患肝癌)/P(阳性))*P(患肝癌)=((0.99)/(0.001392))*(0.0004)=28.45%。

上面疾病检测的例子在网上有很多，基本都从“假阳性”的方面说明阳性结果不足以说明病人得病。但从贝叶斯思想的角度上看，患肝癌的先验概率P(患肝癌)=0.0004（0.04%）的概率很低，在检测结果呈阳性事件发生后，患肝癌的后验概率达到了28.45%，即呈阳性的事件大大增强了患肝癌的概率，这时候需要的是引起高度重视。当然，从结果上看，检测结果呈阳性而真实患肝癌的概率不到30%，这也是为什么肝癌检测第一次呈阳性的人，还需要做第二次检测的原因。

附：全概率公式的推导

设红色部分A和绿色部分A^-构成全集空间S。

则B可分为2部分：白色斜线部分和黑色横线部分。这两部分分别等于P(BA)和P(BA^-)。

因此，P(B)=P(BA)+P(BA^-)，根据条件概率公式:

P(B|A)=P(BA)/P(A),P(B|A^-)=P(BA^-)/P(A^-),则：

P(BA)=P(B|A)P(A)，P(BA^-)=P(B|A^-)P(A^-)

所以：P(B)=P(B|A)P(A)+P(B|A^-)P(A^-)

参考文献：

（1）贝叶斯推断及其互联网应用（一）：定理简介http://www.ruanyifeng.com/blog/2011/08/bayesian_inference_part_one.html

（2）精准的判断，离不开精准的概率计算：《得到App》-《卓老板聊科技》

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