B16_NumPy线性代数（dot，vdot，inner,matmul,determinant,solve,inv）

NumPy线性代数

NumPy 提供了线性代数函数库 linalg，该库包含了线性代数所需的所有功能，可以看看下面的说明：

函数	描述
dot	两个数组的点积，即元素对应相乘。
vdot	两个向量的点积
inner	两个数组的内积
matmul	两个数组的矩阵积
determinant	数组的行列式
solve	求解线性矩阵方程
inv	计算矩阵的乘法逆矩阵

numpy.dot()

numpy.dot() 对于两个一维的数组，计算的是这两个数组对应下标元素的乘积和(数学上称之为内积)；对于二维数组，计算的是两个数组的矩阵乘积；对于多维数组，它的通用计算公式如下，即结果数组中的每个元素都是：数组a的最后一维上的所有元素与数组b的倒数第二位上的所有元素的乘积和：dot(a, b)[i,j,k,m] = sum(a[i,j,:] * b[k,:,m])。

numpy.dot(a,b,out=None)

参数说明：

a : ndarray 数组
b : ndarray 数组
out : ndarray, 可选，用来保存dot()的计算结果
实例

import numpy.matlib
import numpy as npa = np.array([[1,2],[3,4]])
b = np.array([[11,12],[13,14]])
print(np.dot(a,b))

输出结果为：

[[37 40][85 92]]

计算式为：

[[1*11+2*13, 1*12+2*14],[3*11+4*13, 3*12+4*14]]

numpy.vdot()

numpy.vdot()函数是两个向量的点积。如果第一个参数是复数，那么它在共轭复数会用于计算。如果参数是多维数组，它会被展开。
实例

import numpy.matlib
import numpy as npa = np.array([[1,2],[3,4]])
b = np.array([[11,12],[13,14]])
print(np.vdot(a,b))

输出结果为：

计算式为：

1*11 + 2*12 + 3*13 + 4*14 = 130

numpy.inner()

numpy.inner() 函数返回一维数组的向量内积。对于更高的维度，它返回最后一个轴上的和的乘积。
实例

import numpy as npprint(np.inner(np.array([1, 2, 3]), np.array([0, 1, 0])))
# 等价于 1*0+2*1+3*0

输出结果为：

多维数组实例

import numpy as npa = np.array([[1, 2], [3, 4]])print('数组 a：')
print(a)
b = np.array([[11, 12], [13, 14]])print('数组 b：')
print(b)print('内积：')
print(np.inner(a, b))

输出结果为：

数组 a：
[[1 2][3 4]]
数组 b：
[[11 12][13 14]]
内积：
[[35 41][81 95]]

内积计算式为：

1*11+2*12, 1*13+2*14
3*11+4*12, 3*13+4*14

numpy.matmul

numpy.matmul 函数返回两个数组的矩阵乘积。虽然它返回二维数组的正常乘积，但如果任一参数的维数大于2，则将其视为存在于最后两个索引的矩阵的栈，并进行相应广播。

另一方面，如果任一参数是一维数组，则通过在其维度上附加 1 来将其提升为矩阵，并在乘法之后被去除。

对于二维数组，它就是矩阵乘法：

import numpy.matlib
import numpy as npa = [[1,0],[0,1]]
b = [[4,1],[2,2]]
print(np.matmul(a,b))

输出结果为：

[[4 1][2 2]]

二维和一维运算：
实例

import numpy.matlib
import numpy as npa = np.arange(8).reshape(2, 2, 2)
b = np.arange(4).reshape(2, 2)
print(a)
print(b)
print(np.matmul(a, b))

输出结果为：

[[[0 1][2 3]][[4 5][6 7]]]
[[0 1][2 3]]
[[[ 2  3][ 6 11]][[10 19][14 27]]]

numpy.linalg.det()

numpy.linalg.det() 函数计算输入矩阵的行列式。

行列式在线性代数中是非常有用的值。它从方阵的对角元素计算。对于 2×2 矩阵，它是左上和右下元素的乘积与其他两个的乘积的差。

换句话说，对于矩阵[[a，b]，[c，d]]，行列式计算为 ad-bc。较大的方阵被认为是 2×2 矩阵的组合。
实例：

[[[0 1][2 3]][[4 5][6 7]]]
[[0 1][2 3]]
[[[ 2  3][ 6 11]][[10 19][14 27]]]

numpy.linalg.det()

numpy.linalg.det() 函数计算输入矩阵的行列式。

行列式在线性代数中是非常有用的值。它从方阵的对角元素计算。对于 2×2 矩阵，它是左上和右下元素的乘积与其他两个的乘积的差。

换句话说，对于矩阵[[a，b]，[c，d]]，行列式计算为 ad-bc。较大的方阵被认为是 2×2 矩阵的组合。
实例

import numpy as npa = np.array([[1,2],[3,4]])
print(np.linalg.det(a))

输出结果为：

-2.0000000000000004

实例

import numpy as npb = np.array([[6,1,1], [4, -2, 5], [2,8,7]])
print (b)
print (np.linalg.det(b))
print (6*(-2*7 - 5*8) - 1*(4*7 - 5*2) + 1*(4*8 - -2*2))

输出结果为：

[[ 6  1  1][ 4 -2  5][ 2  8  7]]
-306.0
-306

numpy.linalg.solve()

numpy.linalg.solve() 函数给出了矩阵形式的线性方程的解。

考虑以下线性方程：

x + y + z = 62y + 5z = -42x + 5y - z = 27

可以使用矩阵表示为：

如果矩阵成A、X和B,方程变为：

AX = B或X = A^(-1)B

numpy.linalg.inv()

numpy.linalg.inv() 函数计算矩阵的乘法逆矩阵。
逆矩阵（inverse matrix）:设A是数域上的一个n阶矩阵，若在相同数域上存在另一个矩阵B，使得：AB=BA=E,则我们称B是A的逆矩阵，而A则被称为可逆矩阵。注：E为单位矩阵。
实例

import numpy as npx = np.array([[1, 2], [3, 4]])
y = np.linalg.inv(x)
print(x)
print(y)
print(np.dot(x, y))

输出结果为：

[[1 2][3 4]]
[[-2.   1. ][ 1.5 -0.5]]
[[1.00000000e+00 1.11022302e-16][0.00000000e+00 1.00000000e+00]]

现在创建一个矩阵A的逆矩阵:

import numpy as npa = np.array([[1, 1, 1], [0, 2, 5], [2, 5, -1]])print('数组 a：')
print(a)
ainv = np.linalg.inv(a)print('a 的逆：')
print(ainv)print('矩阵 b：')
b = np.array([[6], [-4], [27]])
print(b)print('计算：A^(-1)B：')
x = np.linalg.solve(a, b)
print(x)
# 这就是线性方向 x = 5, y = 3, z = -2 的解

运行结果为：

数组 a:
[[ 1  1  1][ 0  2  5][ 2  5 -1]]
a的逆：
[[ 1.28571429 -0.28571429 -0.14285714][-0.47619048  0.14285714  0.23809524][ 0.19047619  0.14285714 -0.0952381 ]]
矩阵b:
[[ 6][ 4][27]]
计算：A^(-1)B:
[[ 2.71428571][ 4.14285714][-0.85714286]]

结果也可以使用以下函数获取：

x = np.dot(ainv,b)