蔡高厅高等数学28-高阶导数

视频28

例4 设y=arshx,求dy/dx, 双曲函数的反函数 ln（x+sqr( 1 + x^2)）

四、高阶导数

若 y=f(x) 在区间I上是可导，则其导数 y'=f'(x) 任然是区间I上的函数----

原来函数上的导函数

如果y = f'(x)也是可导函数，则称f'(x)的导数[f'(x)]'为原来函数f(x)的二阶导数

，记为y''=[f'(x)]' = f''(x),或d^2y / dx^2

类似的、如果y'' = f''(x) 仍是可导函数，则称[ f'''(x) ] 为 f(x) 的三阶导数

记为y''' = f'''(x)

更高阶表示方法

[ f (n-1)(x)]' 为f(x) 的 n 阶导数记为

f(n)(x) = d^n y / dx ^ n

若f(x) 在区间I 上（a,b）内有n阶导数，记为f(x) 属于D^N(I)

例1 求 y = a ^ x ( a > 0 , a <> 1) 的 n 阶导数

解：使用数学归纳法

例2 设 y = sinx , 求 y(n),

解

(sinx)(n) = sin(x + nπ/2)

例3 设u= u(x),v=v(x) ,在同一点x 处有直至n 阶导数

例1 设 y= x^2 *e ^(2x) , 求y(20)

结果

习题3-2 （p111）

3 (2)、（3）（4）、（5）、（6）、（7）、（8）

4（4）（5）（6）（7）（13）（16）

5（3）（4）

7、8

15 （2）（3）

16 （2）、（3）

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