0.9999……=1?

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0.9999……=1? 十几年前是一个十分火爆的讨论题目，许多人都参与讨论，我以为早就有定论了。 最近上《知网》下载一些高中和大学关于极限教学的论文，发现众多高中老师和大学老师把0.9999……=1作为极限的一个生动易懂例子向学生传授，我很震惊。 他们是这样推导讲解的。

无限循环小数能否进行四则运算？

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这个推导过程正确吗？ 我们分析一下，左边推导没有问题，是正确的。 但是右边推导错误的，错误在于无限循环小数不能以小数形式直接进行四则运算。 也就是说，0.33333…….×3=0.99999……不能这么直接算。 如果这么算的话，所得的结果是错误的，即0.33333…….×3≠0.99999…..。 那么无限循环小数运算规则是什么？ 答案是： 无限循环小数直接以小数形式进行运算的规则，目前数学家还没有研究出来。 所以要进行无限循环小数运算，必须先把无限循环小数变成分数，然后利用分数的四则运算规则进行运算。 所以正确的算法和答案是0.33333…….×3 =×3= 1 。

为什么无限循环小数不能以小数形式直接进行四则运算？

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下面用一个反例说明一下。 设 n 是无限循环小数 0.111… 中“1”的个数，很容易写出下列恒等式： 当 n = 1 时，10 × 0.1 = 1 + 0.1 ﹣ 0.1 当 n = 2 时，10 × 0.11 = 1 + 0.11 ﹣ 0.01 当 n = 3 时，10 × 0.111 = 1 + 0.111 ﹣ 0.001 当 n = 4 时，10 × 0.1111 = 1 + 0.1111 ﹣ 0.0001 当 n = 5 时，10 × 0.11111 = 1 + 0.11111 ﹣ 0.00001 …… 当 n = ∞ 时，10 × 0.111… = 1 + 0.111… ﹣1/10^∞ 由于 1/10^∞ ≠ 0， 所以10 × 0.111… ≠ 1 + 0.111… 10 × 0.111… ≠ 1.111… 同样的道理，还可以得到 10 × 0.333… ≠ 3.333… 10 × 0.999… ≠ 9.999… 10 × 2.777… ≠ 27.777… 以上各式说明，无限循环小数不满足乘法规则。 特别指出： 无限循环小数乘以 10 时，把小数点向后移一位将得到错误答案。

人教版初中教材中的推导

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人教版(2012年教育部审定)九年义务教科书七年级数学上册第三章第2节的实验与探究“无限循环小数化分数”(第92页)，是通过一元一次方程进行推导，内容如下。 先以无限循环小数0.7为例进行讨论。 设0.= x，由0.= 0.777…….，可知10x = 7.777……，所以10x—x = 7。 解方程，得x= ,于是，得0.=。 上面已经讲过，无限循环小数乘以 10 时，把小数点向后移一位的做法是错误的。 有人讲，这种错误的做法得到的答案通过实证，好象是正确的。 是的，存在漏洞的、不严密的求法有时可以得到正确答案，但是如果把这种运算规则推广的话，又会出现自相矛盾，这种情况在数学发展中经常出现，例如康托尔发明集合论时的理发师谬论。 从某种意义上，理论存在自身矛盾和不严密之处是推动数学不断发展重要动因之一。 讲到这里，大家就明白了，为什么目前数学家们还没有研究出来无限循环小数直接以小数形式进行运算规则。 还要讲一点，目前国内的教材包括高等数学的教材中都没讲明确指出无限循环小数不能直接以小数的形式进行四则运算这个结论，所以老师们才会犯这样错误。

极限问题

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本文一开头讲，在高中和大学极限教学中，众多老师认为=1，向学生传授，这是明显错误的。 因为无论是数列极限还是函数极限，极限研究的对象是变量，是函数。 而无限循环小数是一个常量，是一个固定值，不存在极限问题。 即使为了极限运算的统一性和方便性，把一个常量(常数)，如0.9999.......看作一个常数数列或者常数函数，那么按照极限运算规则，常数数列或者常数函数的极限等于它本身，即0.9999……，或者记为=0. 。 而1，这才是=1正确表达式。 再多讲几句，因为发现许多人包括很多数学教师可能对极限的概念理解都有偏差。 函数和极限，都是用来研究变量数学(就是高等数学)的工具。 变量是指在研究过程中不断变化的数量，而无理数和有理数中的无限循环小数，它们都是常量(常数)，都是已知的量，不变的数。 最容易理解的是π，它是一个常量，在研究过程中，是一直不变的量。 但是人类在用数字准确表达描绘它的值时，发现它是一个无限不循环小数，等于3.1415926……，但是π可不是一个变量。 同理，0.99999……..也是如此，它也不是变量，是常量(常数)。 最后总结一下，0.9999……=1在实数和虚数概念下是不成立，但是在其它概念下，例如等价类，可以看作是成立的，但是那是另外一回事。

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编辑 ∑Gemini

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