最优化方法（Optimization methods）中的Modularity

Modularity介绍

2006年Newman在文献Modularity and community structure in networks中提出了modularity的概念，并将其作为一种在网络和图中使用的度量方法。
它可以衡量社区划分的好坏程度。modularity高，代表着社区内节点联系紧密，而社区间连接稀疏。
modularity经常被用在社区发现的最优化算法中。然而modularity也有缺点，使用它不能获得小社区，即使那个社区分离度很高。Resolution limit in community detection

计算方法

表达式
参数解释
- i和j为网络中的两个节点，网络中有m个边。
- Aij为节点i和j之间的边数（通常为1或者0），即网络中邻接矩阵的元素。
- kikj/2m代表随机网络的期望值(在m很大时)[注1]。
- si表示节点i属于的社区。
- 是克罗内克函数，当i=j时值为1，i!=j时值为0。
公式详解

因为不同的社区划分方法，影响且只影响的值，所以为了获得最大Q值，优化函数需要保证当括号内部分Aij-kikj/2m取正数时，对应的取1，反之取0。即任意两点间连接程度大于随机网络的连接程度时，我们要将这两个点划分到同一个社区中。
注1:

随机网络产生方法:将网络图中所有的边(edge)断开成两个小段(stub)，在保证每个节点度不变的情况下，从新随机连接小段(stub)组成网络。此时允许同一个节点的边进行自连接。

举个栗子，穷举法:

将小段(stub)编号成123456，右边穷举出共15种连接方式，节点12相连(即小段12或小段13相连)的情况有6种，所以节点12相连的概率是6/15=2/5，与公式(kikj)/(2m-1)=(1*2)/(2*3-1)=2/5一致。我认为原式中分母2m就是在m很大的情况下，2m-1的近似值。维基百科的表述也不是很清除，故此处未找到依据，欢迎指正。

不难发现，实际上stubs重组的过程与这些stubs属于哪个点无关，所以分母总可能数只与边数有关。上述问题使用排列组合的方法可以推到出公式，而且能够代表一般情况。

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