Hosmer-Lemeshow test

详细的Hosmer-Lemeshow test使用方法的介绍请参考：看这里

calibration curve是评价模型的一个重要指标，不信的话请看文章1，文章2，总之很重要的！！！

最近需要画校正曲线，但网上的相关资料实在是太少了，花了点时间研究了一下，跟大家分享一下如何使用Hosmer-Lemeshow test来绘制calibration curve，（p.s. 都是个人理解，可能有错，欢迎讨论）:

首先，按照方法介绍中的样例，我们生成一下数据：

set.seed(43657)
n <- 100
x <- rnorm(n)
xb <- x
pr <- exp(xb)/(1+exp(xb))
y <- 1*(runif(n) < pr)

这里的x是变量，y相当于标签（0，1），这里做的是二分类的。然后我们放到glm函数中fit一下：

mod <- glm(y~x, family=binomial)

然后，将结果y和模型拟合概率传递给hoslem.test函数，选择g = 10组。在这之前，要记得先安装并加载package，安装方法为install.paskages(‘ResourceSelection’)，加载方法为library(ResourceSelection)。

hl <- hoslem.test(mod$y, fitted(mod), g=10)
hl

这里的mod$y和 fitted(mod)分别表示标签和预测概率，可以换成自己的数据。hl输出为：

Hosmer and Lemeshow goodness of fit (GOF) testdata:  mod$y, fitted(mod)
X-squared = 7.4866, df = 8, p-value = 0.4851

我们还可以从hl对象中获得一个观察到的与预期的表：

cbind(hl$observed,hl$expected)

输出为

                y0 y1  yhat0    yhat1
[0.0868,0.219]  8  2 8.259898 1.740102
(0.219,0.287]   7  3 7.485661 2.514339
(0.287,0.329]   7  3 6.968185 3.031815
(0.329,0.421]   8  2 6.194245 3.805755
(0.421,0.469]   5  5 5.510363 4.489637
(0.469,0.528]   4  6 4.983951 5.016049
(0.528,0.589]   5  5 4.521086 5.478914
(0.589,0.644]   2  8 3.833244 6.166756
(0.644,0.713]   6  4 3.285271 6.714729
(0.713,0.913]   1  9 1.958095 8.041905

其中y0, y1表示观察的结果，yhat0，yhat2表示预期的结果。为了理解这些数字都代表些什么，我们手动计算一下，首先，我们计算模型的预测概率，然后根据预测概率的十分位数对观察结果进行分组（这里其实就是将模型预测的概率进行排序，然后将数据划分成10组）：

pihat <- mod$fitted
pihatcat <- cut(pihat, breaks=c(0,quantile(pihat, probs=seq(0.1,0.9,0.1)),1), labels=FALSE)

接下来，我们循环遍历第1组到第10组，计算观察到的0和1的数量，并计算期望的0和1的数量。
这里提一下，上面我们选择了g=10，那么根据模型拟合出来的概率mod$fitted和十分位数，我们将所有数据分为10组，下面是本例中10组的分组情况，可以看到每个数据在哪个组别：

10 10  9  8  2  9  2  1  6  5  2  1  1 10  5  6  4  4  8  3  6  3  9  2  9  3  6  5  4  7  4  9  3  5  8  4  7  4  3  2  2  8  6  1  3  5  7 2  7  2  8  7  6  1  1  4  8  9 10 10  1  5  1  4  6  9 10  6  7  3  8  2  2  9  5 10  7  6  5  4  7  6  9  1 10  3  3  8 10  7  5  7 10  1  8  8  4  9  3  5

为了计算期望的0和1的数量，我们找到每个组中预测概率的平均值，然后将其乘以组大小，这里为10：

meanprobs <- array(0, dim=c(10,2))
expevents <- array(0, dim=c(10,2))
obsevents <- array(0, dim=c(10,2))
stdprobs <- array(0, dim=c(10,2))
obsprobs <- array(0, dim=c(10,2))for (i in 1:10) {meanprobs[i,1] <- mean(pihat[pihatcat==i])stdprobs[i,1] <- sd(pihat[pihatcat==i])expevents[i,1] <- sum(pihatcat==i)*meanprobs[i,1]obsevents[i,1] <- sum(y[pihatcat==i])obsprobs[i,1] <- sum(y[pihatcat==i])/sum(pihatcat==i)meanprobs[i,2] <- mean(1-pihat[pihatcat==i])stdprobs[i,2] <- sd(1-pihat[pihatcat==i])expevents[i,2] <- sum(pihatcat==i)*meanprobs[i,2]obsevents[i,2] <- sum(1-y[pihatcat==i])obsprobs[i,2] <- 1-(sum(y[pihatcat==i])/sum(pihatcat==i))
}

这里meanprobs 表示每组的平均概率，expevents 表示期望事件，obsevents 表示观察事件，我加了两个参数，方便绘制calibration curve，其中，stdprobs 表示每组的标准差，obsprobs 表示每组的观察概率。
然后，我们可以通过上面计算得到的表格的10x2单元格中的（观察到的预期）^ 2 /预期的总和来计算Hosmer-Lemeshow检验统计量：

hosmerlemeshow <- sum((obsevents-expevents)^2 / expevents)
hosmerlemeshow

可以看到输出为：

[1] 7.486643

和hoslem.test函数计算出来的一样对吧。

calibration curve

现在，我们有了观察的概率表obsprobs，和预测的平均概率meanprobs ，以及预测概率的方差stdprobs，可以绘制calibration curves了。

先绘制一个空图，

yy <- meanprobs[,c(1)]
xx <- obsprobs[,c(1)]
plot(xx, yy, type = "n", xlab = "Predicted probability", ylab = "Oberserved probability")

然后，添加数据，

points(xx, yy, type = "p", pch = 19, col = "seagreen", lty = 1)

通过改变type的值可以选择绘制散点图还是折线图，或者是别的类型的图。然后，我们在图上添加误差棒

plot_error <- function(xx, yy, sd, len = 1, col = "black") {len <- len * 0.05arrows(x0 = xx, y0 = yy, x1 = xx, y1 = yy - sd, col = col, angle = 90, length = len)arrows(x0 = xx, y0 = yy, x1 = xx, y1 = yy + sd, col = col, angle = 90, length = len)
}
plot_error(xx, yy, sd = stdprobs[,c(1)], col = "seagreen")

最后，加上对角线和legend，就可以绘制出一张校正曲线图啦。

abline(0,1,lty=3,lwd=1,col=c(rgb(0,0,0,maxColorValue=255)))labs <- c("RANDOM TEST")
legend("top", legend = labs, cex = 0.8, lty = 1, lwd = 2, pch = 19, col = c("seagreen"), inset = 0.01, horiz = TRUE, box.col = "white")

P.S 这里使用的是简单的glm模型来做模型得到的概率，如果有现成的概率和标签，也是可以直接绘制calibration curve的~

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