博主小白，分享一下自己对于点变换和坐标系变换的理解，不对的地方请大家指出~

坐标系变换

以最简单的坐标系变换为例，如下图

图中有两个坐标系，因为没有旋转，两个坐标系之间的变换关系很显然为
[X2Y2]=[01−10][X1Y1]\begin{bmatrix} X_2 \\ Y_2 \end{bmatrix} = \left[ \begin{array}{cccc} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{array} \right ] \begin{bmatrix} X_1 \\ Y_1 \end{bmatrix} [X2Y2]=[0−110][X1Y1]
将

[01−10]\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix} [0−110]记为 TrT_rTr，也就是
[X2Y2]=Tr[X1Y1]\begin{bmatrix} X_2 \\ Y_2 \end{bmatrix} = T_r \begin{bmatrix} X_1 \\ Y_1 \end{bmatrix} [X2Y2]=Tr[X1Y1]
在这个式子中，TrT_rTr代表由坐标系2到坐标系1的空间变换，也就是坐标系1相对于坐标系2的位姿

点变换

同理，还是上面这个图，点P(a,b)P(a,b)P(a,b)在坐标系1下的坐标为P1(a,b)P_1(a,b)P1(a,b)，在坐标系2下的坐标为P2(b,−a)P_2(b,-a)P2(b,−a)，设P1P_1P1和P2P_2P2的坐标变换为T12T_1^2T12代表坐标系2到坐标系1的变换，则有：

P2=T12∗P1P_2=T_1^2*P_1P2=T12∗P1
带入P1P_1P1,P2P_2P2得：
[b−a]=[01−10][ab]\begin{bmatrix} b \\ -a \end{bmatrix} = \left[ \begin{array}{cccc} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{array} \right ] \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} [b−a]=[0−110][ab]
因此，可以得到T12=[01−10]T_1^2=\left[\begin{array}{cccc} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{array}\right]T12=[0−110]

通过这个例子可以发现，点的空间变化和坐标系的空间变换是一样的。

KITTI数据集中的坐标系关系

理解了上面的内容(点的空间变化和坐标系的空间变换是一样的)，kitti数据集的坐标系变换就很简单了。
kitti坐标系之间的关系如下如图，其中左侧的坐标系是kitti odomtery的真值坐标系，右侧是lidar坐标系，因为A-LOAM计算的到的pose是右侧的，所以要想根据真值进行评价，我们需要将其转换到左侧的真值坐标系（其实就是左相机的坐标系），具体可以参考这篇博客。
记：

lidar to left camera的外参矩阵为TrT_rTr，即Tr transform a point from velodyne coordinates into the left camera coordinate system；（这里我感觉这个TrT_rTr其实就是camera到lidar的变换矩阵）

第i帧lidar坐标系在其世界坐标系(其世界坐标系就是指的相对于第一帧lidar的pose)的pose（也即transform）为TilidarwT_i^{lidar_w}Tilidarw；

第i帧camera坐标系在其世界坐标系的pose为TicamerawT_i^{camera_w}Ticameraw；

第i帧lidar坐标系下的点云为PilidarlP_i^{lidar_l}Pilidarl；

第i帧camera坐标系下的点云为PicameralP_i^{camera_l}Picameral；

第i帧点云在lidar世界坐标系（第一帧的坐标系）下的点云为PilidarwP_i^{lidar_w}Pilidarw；

第i帧camera世界坐标系（第一帧的坐标系）下的点云为PicamerawP_i^{camera_w}Picameraw；

有：
Picameraw=PicamerawP_i^{camera_w}=P_i^{camera_w} Picameraw=Picameraw

Ticameraw∗Picameral=Tr∗PilidarwT_i^{camera_w}*P_i^{camera_l}=T_r*P_i^{lidar_w} Ticameraw∗Picameral=Tr∗Pilidarw

Ticameraw∗Tr∗Pilidarl=Tr∗Tilidarw∗PilidarlT_i^{camera_w}*T_r*P_i^{lidar_l}=T_r*T_i^{lidar_w}*P_i^{lidar_l} Ticameraw∗Tr∗Pilidarl=Tr∗Tilidarw∗Pilidarl

Ticameraw∗Tr=Tr∗TilidarwT_i^{camera_w}*T_r=T_r*T_i^{lidar_w} Ticameraw∗Tr=Tr∗Tilidarw

Ticameraw=Tr∗Tilidarw∗Tr−1T_i^{camera_w}=T_r*T_i^{lidar_w}*T_r^{-1} Ticameraw=Tr∗Tilidarw∗Tr−1

其中TicamerawT_i^{camera_w}Ticameraw就是kitti的odomtery的真值，TilidarwT_i^{lidar_w}Tilidarw为A-LOAM得到的里程计。

参考

[1] LOAM笔记及A-LOAM源码阅读

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点的空间变换与坐标系的空间变换

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