本章目录

第14章程序员常用的10中算法
- 14.1 二分查找算法(非递归)
- - 14.1.1 二分查找算法(非递归)介绍
- 14.2 分治算法
- - 14.2.1 分治算法介绍
  - 14.2.2 分治算法最佳实践-汉诺塔
- 14.3 动态规划算法
- - 14.3.1 应用场景-背包问题
  - 14.3.2 动态规划算法介绍
  - 14.3.3 动态规划算法最佳实践-背包问题
- 14.4 KMP算法
- - 14.4.1 应用场景-字符串匹配问题
  - 14.4.2 暴力匹配
  - 14.4.3 KMP 算法介绍
  - 14.4.4 KMP 算法最佳应用-字符串匹配问题
- 14.5 贪心算法
- - 14.5.1 应用场景-集合覆盖问题
  - 14.5.2 贪心算法介绍
- 14.6 普利姆算法
- - 14.6.1 应用场景-修路问题
  - 14.6.2 最小生成树
  - 14.6.3 普里姆算法介绍
  - 14.6.4 代码实现
- 14.7 克鲁斯卡尔算法
- - 14.7.1 应用场景-公交站问题
  - 14.7.2 克鲁斯卡尔算法介绍
  - 14.7.3 克鲁斯卡尔算法图解说明
  - 14.7.3 克鲁斯卡尔算法分析
  - 14.7.4 克鲁斯卡尔算法的代码实现
- 14.8 迪杰斯特拉算法
- - 14.8.1 应用场景-最短路径问题
  - 14.8.2 迪杰斯特拉(Dijkstra)算法介绍
  - 14.8.3 迪杰斯特拉(Dijkstra)算法过程
- 14.9 弗洛伊德算法
- - 14.9.1 弗洛伊德(Floyd)算法介绍
  - 14.9.2 弗洛伊德(Floyd)算法图解分析

第14章程序员常用的10中算法

14.1 二分查找算法(非递归)

14.1.1 二分查找算法(非递归)介绍

前面我们讲过了二分查找算法，是使用递归的方式，下面我们讲解二分查找算法的非递归方式
二分查找法只适用于从有序的数列中进行查找(比如数字和字母等)，将数列排序后再进行查找
二分查找法的运行时间为对数时间O(㏒₂n) ，即查找到需要的目标位置最多只需要㏒₂n 步，假设从[0,99]的队列(100 个数，即 n=100)中寻到目标数 30，则需要查找步数为㏒₂100 , 即最多需要查找 7 次( 2^6 < 100 < 2^7)

public static int  binarysearch(int[] arr, int target) {int left = 0;int right = arr.length-1;while (left < right) {int mid = (left + right )/2;if (arr[mid] == target) {return mid;}else if (arr[mid] > target) {right = mid -1 ;}else {left = mid + 1;}}return -1;
}

14.2 分治算法

14.2.1 分治算法介绍

分治法是一种很重要的算法。字面上的解释是**“分而治之”，就是把一个复杂的问题分成两个或更多的相同或相似的子问题**，再把子问题分成更小的子问题……直到最后子问题可以简单的直接求解，原问题的解即子问题的解的合并。这个技巧是很多高效算法的基础，如排序算法(快速排序，归并排序)，傅立叶变换(快速傅立叶变换)……
分治算法可以求解的一些经典问题
（1）二分搜索
（2）大整数乘法
（3）棋盘覆盖
（4）合并排序
（5）快速排序
（6）线性时间选择
（7）最接近点对问题
（8）循环赛日程表
（9）汉诺塔
分治算法的基本步骤
分治法在每一层递归上都有三个步骤：
（1）分解：将原问题分解为若干个规模较小，相互独立，与原问题形式相同的子问题
（2）解决：若子问题规模较小而容易被解决则直接解，否则递归地解各个子问题
（3）合并：将各个子问题的解合并为原问题的解。
分治(Divide-and-Conquer§)算法设计模式如下：

14.2.2 分治算法最佳实践-汉诺塔

思路分析
（1）如果是有一个盘， A->C
如果我们有 n >= 2 情况，我们总是可以看做是两个盘 ：1.最下边的盘 2. 上面的所有盘看做是一个盘。
（2）先把最上面的盘 A->B
（3）把最下边的盘 A->C
（4）把 B 塔的所有盘从 B->C
代码实现

/*** 汉诺塔的移动方法——使用分治算法* @param num:汉诺塔盘的数目* @param a* @param b* @param c*/
public static void hanoiTower(int num, char a, char b, char c) {//如果只有一个盘if (num == 1) {System.out.println("第1个盘从 "+a+"到"+c);}else {//如果我们有n>=2个盘，我们总是可以看做是两个盘：1个最下面的盘，1个上面所有的盘看做是一个盘//1. 先将最上面的所有盘A-B，移动过程会使用到ChanoiTower(num-1, a, c, b);//2. 将最下面的盘A-CSystem.out.println("第"+num +"个盘从 "+a+"到"+c);//3. 把B塔的所有盘从B-C，移动过程中使用a塔hanoiTower(num-1, b, a, c);}
}

14.3 动态规划算法

14.3.1 应用场景-背包问题

背包问题：有一个背包，容量为 4 磅，现有如下物品

（1）要求达到的目标为装入的背包的总价值最大，并且重量不超出
（2）要求装入的物品不能重复

14.3.2 动态规划算法介绍

动态规划(Dynamic Programming)算法的核心思想是：将大问题划分为小问题进行解决，从而一步步获取最优解的处理算法
动态规划算法与分治算法类似，其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。
与分治法不同的是，适合于用动态规划求解的问题，经分解得到子问题往往不是互相独立的。 ( 即下一个子阶段的求解是建立在上一个子阶段的解的基础上，进行进一步的求解 )
动态规划可以通过填表的方式来逐步推进，得到最优解.

14.3.3 动态规划算法最佳实践-背包问题

说明
（1）背包问题主要是指一个给定容量的背包、若干具有一定价值和重量的物品，如何选择物品放入背包使物品的价值最大。其中又分 01 背包和完全背包(完全背包指的是：每种物品都有无限件可用)
（2）这里的问题属于 01 背包，即每个物品最多放一个。而无限背包可以转化为01 背包。
算法的主要思想
利用动态规划来解决。每次遍历到的第 i 个物品，根据 w[i]和 v[i]来确定是否需要将该物品放入背包中。即对于给定的 n 个物品，设 v[i]、w[i]分别为第 i 个物品的价值和重量，C 为背包的容量。再令 v[i][j] 表示在前 i 个物品中能够装入容量为 j 的背包中的最大价值。则我们有下面的结果：
（1）当v[i][0]=v[0][j]=0; //表示填入表第一行和第一列是0
（2）当 w[i]> j 时：v[i][j]=v[i-1][j] // 当准备加入新增的商品的容量大于当前背包的容量时（即超出了背包的容量），就直接使用上一个单元格的装入策略（不装入背包）
（3）当 j>=w[i]时： v[i][j]=max{v[i-1][j], v[i]+v[i-1][j-w[i]]}，//当准备加入的新增的商品的容量小于等于当前背包的容量,
PS：
v[i-1][j]：就是上一个单元格的装入的最大值
v[i] : 表示当前商品的价值
v[i-1][j-w[i]] ：装入 i-1 商品，到剩余空间 j-w[i]的最大值

3. 代码实现

package com.atguigu.dynamic;
public class KnapsackProblem {public static void main(String[] args) {int[] w = {1,4,3};       //物品的重量int[] val = {1500, 3000,2000};  //物品的价值int m = 4;              //背包的容量int n = val.length;     //物品的数量//创建二维数组；v[i][j]表示在前i个物品中能够装入容量为j的背包中的最大价值int[][] v = new int[n+1][m+1] ;  //因为在本算法中会多一行和一列的0值int[][] path = new int[n+1][m+1]; //记录放入商品的情况//初始化第一行和第一列为零for (int i = 0; i < v.length; i++) {v[i][0] = 0;}for (int i = 0; i < v[0].length; i++) {v[0][i] = 0 ;}//依据公式实现动态规划处理for (int i = 1; i < v.length; i++) {for (int j = 1; j < v[0].length; j++) {//公式if (w[i-1] > j) {          //因为这里的i从1开始，而w的i从0开始，因此需要减1v[i][j] = v[i-1][j]; //}else {                       //同上//v[i][j] = Math.max(v[i-1][j], val[i-1] + v[i-1][j-w[i-1]]);//为了记录商品存放到背包的情况，不能直接使用上面的公式，需要使用if-else的结构间接实现if (v[i-1][j] < val[i-1] + v[i-1][j-w[i-1]]) {v[i][j] = val[i-1] + v[i-1][j-w[i-1]];path[i][j] = 1;}else {v[i][j] = v[i-1][j];}}}}//显示矩阵for (int i = 0; i < v.length; i++) {for (int j = 0; j < v[i].length; j++) {System.out.print(v[i][j] + " ");}System.out.println();}/*//输出最后我们放入的哪些物品//这样输出有冗余数据，其实我们只需要最后的放入for (int i = 0; i < path.length; i++) {for (int j = 0; j < path[i].length; j++) {if (path[i][j] == 1) {System.out.printf("第%d个商品放入到背包\n", i);}}}*/for (int i = 0; i < v.length; i++) {for (int j = 0; j < v[i].length; j++) {System.out.print(path[i][j] + " ");}System.out.println();}int i = path.length -1;         //行的最大下标        int j = path[0].length -1;     //列的最大下标while (i > 0 && j > 0) {      //从path的最后开始找if (path[i][j] == 1) {System.out.printf("第%d个商品放入到背包\n", i);j -= w[i-1];}i--;}}
}

14.4 KMP算法

14.4.1 应用场景-字符串匹配问题

字符串匹配问题：
（1）有一个字符串 str1= ““硅硅谷尚硅谷你尚硅尚硅谷你尚硅谷你尚硅你好””，和一个子串 str2=“尚硅谷你尚硅你”
（2）现在要判断 str1 是否含有 str2, 如果存在，就返回第一次出现的位置, 如果没有，则返回-1

14.4.2 暴力匹配

思路
（1）如果当前字符匹配成功（即 str1[i] == str2[j]），则 i++，j++，继续匹配下一个字符
（2）如果失配（即 str1[i]! = str2[j]），令 i = i - (j - 1)，j = 0。相当于每次匹配失败时，i 回溯，j 被置为0。
（3）用暴力方法解决的话就会有大量的回溯，每次只移动一位，若是不匹配，移动到下一位接着判断，浪费了大量的时间。(不可行!)
实现

package com.atguigu.kmp;
public class ViolenceMatch {public static void main(String[] args) {String str1 = "硅硅谷 尚硅谷你尚硅 尚硅谷你尚硅谷你尚硅你好";String str2 = "尚硅谷你尚硅你";int index = violenceMatch(str1, str2);System.out.println(index);}//暴力匹配算法public static int violenceMatch(String str1, String str2) {char[] s1 = str1.toCharArray();char[] s2 = str2.toCharArray();int s1Len = s1.length;int s2Len = s2.length;int i = 0;        //i索引指向s1int j = 0;        //j索引指向s2while (i < s1Len && j < s2Len) {if (s1[i] == s2[j]) {i++;j++;}else {       //如果匹配失败，令i=i-j+1,j=0i = i-j+1;j = 0;}}//判断是否匹配成功if (j == s2Len) {return i -j ; }else {return -1;}}
}

14.4.3 KMP 算法介绍

KMP 是一个解决模式串在文本串是否出现过，如果出现过，最早出现的位置的经典算法
Knuth-Morris-Pratt 字符串查找算法，简称为 “KMP 算法”，常用于在一个文本串 S 内查找一个模式串 P 的出现位置，这个算法由 Donald Knuth、Vaughan Pratt、James H. Morris 三人于 1977 年联合发表，故取这 3 人的姓氏命名此算法.
KMP 方法算法就利用之前判断过信息，通过一个 next 数组，保存模式串中前后最长公共子序列的长度，每次回溯时，通过 next 数组找到，前面匹配过的位置，省去了大量的计算时间
参考资料：https://www.cnblogs.com/ZuoAndFutureGirl/p/9028287.html

14.4.4 KMP 算法最佳应用-字符串匹配问题

字符串匹配问题：：
（1）有一个字符串 str1= “BBC ABCDAB ABCDABCDABDE”，和一个子串 str2=“ABCDABD”
（2）现在要判断 str1 是否含有 str2, 如果存在，就返回第一次出现的位置, 如果没有，则返回-1 3) 要求：使用 KMP 算法完成判断，不能使用简单的暴力匹配算法.
1.首先，用 Str1 的第一个字符和 Str2 的第一个字符去比较，不符合，关键词向后移动一位
重复第一步，还是不符合，再后移
一直重复，直到 Str1 有一个字符与 Str2 的第一个字符符合为止
接着比较字符串和搜索词的下一个字符，还是符合。

5.遇到 Str1 有一个字符与 Str2 对应的字符不符合。

6.这时候，想到的是继续遍历 Str1 的下一个字符，重复第 1 步。(其实是很不明智的，因为此时BCD 已经比较过了，没有必要再做重复的工作，一个基本事实是，当空格与 D 不匹配时，你其实知道前面六个字符是”ABCDAB”。 KMP 算法的想法是，设法利用这个已知信息，不要把”搜索位置”移回已经比较过的位置，继续把它向后移，这样就提高了效率。)

7.怎么做到把刚刚重复的步骤省略掉？可以对 Str2 计算出一张《部分匹配表》，这张表的产生在后面介绍

8.已知空格与 D 不匹配时，前面六个字符”ABCDAB”是匹配的。查表可知，最后一个匹配字符 B 对应的”部分匹配值”为 2，因此按照下面的公式算出向后移动的位数：
移动位数 = 已匹配的字符数 - 对应的部分匹配值
因为 6 - 2 等于 4，所以将搜索词向后移动 4 位。

9.因为空格与Ｃ不匹配，搜索词还要继续往后移。这时，已匹配的字符数为2（”AB”），对应的”部分匹配值” 为 0。所以，移动位数 = 2 - 0，结果为 2，于是将搜索词向后移 2 位。

10.因为空格与 A 不匹配，继续后移一位。

11.逐位比较，直到发现 C 与 D 不匹配。于是，移动位数 = 6 - 2，继续将搜索词向后移动 4 位。

12.逐位比较，直到搜索词的最后一位，发现完全匹配，于是搜索完成。如果还要继续搜索（即找出全部匹配），移动位数 = 7 - 0，再将搜索词向后移动 7 位，这里就不再重复了。

13.介绍《部分匹配表》怎么产生的先介绍前缀，后缀是什么

“部分匹配值”就是**”前缀”和”后缀”的最长的共有元素的长度**。以”ABCDABD”为例，
－”A”的前缀和后缀都为空集，共有元素的长度为 0；
－”AB”的前缀为[A]，后缀为[B]，共有元素的长度为0；
－”ABC”的前缀为[A, AB]，后缀为[BC, C]，共有元素的长度0；
－”ABCD”的前缀为[A, AB, ABC]，后缀为[BCD, CD, D]，共有元素的长度为0；
－”ABCDA”的前缀为[A, AB, ABC, ABCD]，后缀为[BCDA, CDA, DA, A]，共有元素为”A”，长度为1；－”ABCDAB”的前缀为[A, AB, ABC, ABCD, ABCDA]，后缀为[BCDAB, CDAB, DAB, AB, B]，共有元素为”AB”，长度为 2；
－”ABCDABD”的前缀为[A, AB, ABC, ABCD, ABCDA, ABCDAB]，后缀为[BCDABD, CDABD, DABD, ABD, BD, D]，共有元素的长度为 0。

14.”部分匹配”的实质是，有时候，字符串头部和尾部会有重复。比如，”ABCDAB”之中有两个”AB”，那么它的”部分匹配值”就是 2（”AB”的长度）。搜索词移动的时候，第一个”AB”向后移动 4 位（字符串长度-部分匹配值），就可以来到第二个”AB”的位置。

代码实现

package com.atguigu.kmp;
import java.util.Arrays;
public class kmpAlgorithm {public static void main(String[] args) {String str1 = "BBC ABCDAB ABCDABCDABDE";String str2 = "ABCDABD";int[] next = kmpNext("ABCDABD");System.out.println(Arrays.toString(next));int index = kmpSearch(str1, str2, next);System.err.println(index);}/*** kmp算法* @param str1* @param str2* @param next:部分匹配表* @return*/public static int  kmpSearch(String str1, String str2, int[] next) {//遍历for (int i = 0,j = 0; i < str1.length(); i++) {//需要处理str1.charAt(i) ！= str2.charAt(j)//kmp算法核心点while(j > 0 && str1.charAt(i) != str2.charAt(j)) {j=next[j-1];}if (str1.charAt(i) == str2.charAt(j)) {j++;}if (j == str2.length()) {return i-j+1;}    }return -1;}//获取一个字符串（子串）的部分匹配值表public static int[] kmpNext(String dest) {//创建一个next数组保存部分匹配值int[] next = new int[dest.length()];next[0] = 0;   //如果字符串的长度是1，则部分匹配值就是0.for (int i = 1, j = 0; i < dest.length(); i++) {//当dest.charAt(i) ！= dest.charAt(j)，我们需要从next[j-1]获取新的j//知道我们发现dest.charAt(i) == dest.charAt(j)才退出while (j > 0 && dest.charAt(i) != dest.charAt(j)) {j = next[j-1];}//当dest.charAt(i) == dest.charAt(j)满足时，部分匹配值就是1//charAt()方法返回指定索引位置的char值。索引范围为0~length()-1//此处并不甚明白if (dest.charAt(i) == dest.charAt(j)) {j++;}next[i] = j;}return next;}
}

14.5 贪心算法

14.5.1 应用场景-集合覆盖问题

假设存在下面需要付费的广播台，以及广播台信号可以覆盖的地区。如何选择最少的广播台，让所有的地区都可以接收到信号

14.5.2 贪心算法介绍

贪婪算法(贪心算法)是指在对问题进行求解时，在每一步选择中都采取最好或者最优(即最有利)的选择，从而希望能够导致结果是最好或者最优的算法
贪婪算法所得到的结果不一定是最优的结果(有时候会是最优解)，但是都是相对近似(接近)最优解的结果

使用贪婪算法，效率高:
思路分析:
如何找出覆盖所有地区的广播台的集合呢，使用穷举法实现,列出每个可能的广播台的集合，这被称为幂集。假设总的有 n 个广播台，则广播台的组合总共有 2ⁿ -1 个,假设每秒可以计算 10 个子集，如图:
（1）目前并没有算法可以快速计算得到准备的值，使用贪婪算法，则可以得到非常接近的解，并且效率高。选择策略上，因为需要覆盖全部地区的最小集合:
（2）遍历所有的广播电台, 找到一个覆盖了最多未覆盖的地区的电台(此电台可能包含一些已覆盖的地区，但没有关系）
（3）将这个电台加入到一个集合中(比如 ArrayList), 想办法把该电台覆盖的地区在下次比较时去掉。
（4）重复第 1 步直到覆盖了全部的地区
代码实现

package com.atguigu.greedy;
import java.util.ArrayList;
import java.util.HashMap;
import java.util.HashSet;
public class GreedyAlgorithm {public static void main(String[] args) {//创建广播电台，放入到MapHashMap<String, HashSet<String>> broadcasts = new HashMap<String, HashSet<String> >();HashSet<String> hashSet1 = new HashSet<String>();hashSet1.add("北京");      hashSet1.add("上海");       hashSet1.add("天津");HashSet<String> hashSet2 = new HashSet<String>();hashSet2.add("广州");        hashSet2.add("北京");       hashSet2.add("深圳");HashSet<String> hashSet3 = new HashSet<String>();hashSet3.add("成都");        hashSet3.add("上海");       hashSet3.add("杭州");HashSet<String> hashSet4 = new HashSet<String>();hashSet4.add("上海");        hashSet4.add("天津");HashSet<String> hashSet5 = new HashSet<String>();hashSet5.add("杭州");        hashSet5.add("大连");//加入到mapbroadcasts.put("k1", hashSet1); broadcasts.put("k2", hashSet2); broadcasts.put("k3", hashSet3); broadcasts.put("k4", hashSet4); broadcasts.put("k5", hashSet5); //添加地点HashSet<String> allAreas = new HashSet<String>();allAreas.add("北京");allAreas.add("上海");allAreas.add("天津");allAreas.add("广州");allAreas.add("深圳");allAreas.add("成都");allAreas.add("杭州");allAreas.add("大连");System.out.println(allAreas);//创建一个ArrayList，存放选择的电台集合ArrayList<String> selects = new ArrayList<String>();//定义一个临时的集合，在遍历过程中，存放遍历过程层中的电台覆盖的地区和 当前还未覆盖的地区的交集HashSet<String> tempSet = new HashSet<String>();//定义给maxKey，保存在一次遍历过程中，能够覆盖最大覆盖范围的电台对应的key，//如果maxKey不为null，则会加入到selects。String maxKey = null;while (allAreas.size() != 0) {     //表示还有未覆盖的地区//每进行一次，都需要maxKey = null;//遍历boradcasts,取出对应的keyfor (String key : broadcasts.keySet()) {tempSet.clear();//当前这个key能够覆盖的范围HashSet<String> areas = broadcasts.get(key);tempSet.addAll(areas);//求出tempSet 和 allAreas 集合的交集，交集会赋给tempSettempSet.retainAll(allAreas);//如果当前这个集合包含的未覆盖区域的数量，比maxKey指向的集合区域还多//(maxKey == null || tempSet.size() > broadcasts.get(maxKey).size()) 体现贪心算法。if (tempSet.size() > 0 && (maxKey == null || tempSet.size() > broadcasts.get(maxKey).size())) {maxKey = key;}}//maxKeyif (maxKey != null) {selects.add(maxKey);//将maxKey指向的广播电台覆盖区域从allAreas 去掉allAreas.removeAll(broadcasts.get(maxKey));}}System.out.println(selects);}
}

14.6 普利姆算法

14.6.1 应用场景-修路问题

修路问题

（1）有胜利乡有7 个村庄(A, B, C, D, E, F, G) ，现在需要修路把 7 个村庄连通
（2）各个村庄的距离用边线表示(权) ，比如 A – B 距离 5 公里
（3）问：如何修路保证各个村庄都能连通，并且总的修建公路总里程最短?
思路
将 10 条边，连接即可，但是总的里程数不是最小.
正确的思路，就是尽可能的选择少的路线，并且每条路线最小，保证总里程数最少.

14.6.2 最小生成树

修路问题本质就是就是最小生成树问题，先介绍一下最小生成树(Minimum Cost Spanning Tree)，简称 MST。给定一个带权的无向连通图,如何选取一棵生成树,使树上所有边上权的总和为最小,这叫最小生成树
（1）N 个顶点，一定有 N-1 条边
（2）包含全部顶点
（3）N-1 条边都在图中
求最小生成树的算法主要是普里姆算法和克鲁斯卡尔算法。

14.6.3 普里姆算法介绍

普利姆(Prim)算法求最小生成树，也就是在包含 n 个顶点的连通图中，找出只有(n-1)条边包含所有 n 个顶点的连通子图，也就是所谓的极小连通子图
普利姆的算法如下:
（1）设 G=(V,E)是连通网，T=(U,D)是最小生成树，V,U 是顶点集合，E,D 是边的集合
（2）若从顶点 u 开始构造最小生成树，则从集合 V 中取出顶点 u 放入集合 U 中，标记顶点v 的visited[u]=1
（3）若集合 U 中顶点 ui 与集合 V-U 中的顶点 vj 之间存在边，则寻找这些边中权值最小的边，但不能构成回路，将
顶点 vj 加入集合 U 中，将边（ui,vj）加入集合 D 中，标记 visited[vj]=1
（4）重复步骤②，直到 U 与 V 相等，即所有顶点都被标记为访问过，此时D 中有 n-1 条边
（5）提示: 单独看步骤很难理解，我们通过代码来讲解，比较好理解.
图解普利姆算法

14.6.4 代码实现

package com.atguigu.prim;
import java.util.Arrays;
public class PrimAlgorithm {public static void main(String[] args) {char[] data = new char[] {'A','B','C','D','E','F','G'};int verxs = data.length;int[][] weight = new int[][] {{10000,5,7,10000,10000,10000,2}, {5,10000,10000,9,10000,10000,3}, {7,10000,10000,10000,8,10000,10000},{10000,9,10000,10000,10000,4,10000}, {10000,10000,8,10000,10000,5,4}, {10000,10000,10000,4,5,10000,6}, {2,3,10000,10000,4,6,10000}};MGraph graph = new MGraph(verxs);MinTree minTree = new MinTree();minTree.createGraph(graph, verxs, data, weight);;//minTree.showGraph(graph);minTree.prim(graph, 0);}
}
//创建最小生成树
class MinTree{/*** 创建图的邻接矩阵* @param graph：图对象* @param verxs：图对应的顶点个数* @param data：图的各顶点的值* @param weight：图的邻接矩阵*/public void createGraph(MGraph graph, int verxs, char data[], int[][] weight) {for (int i = 0;  i < verxs; i ++) {graph.data[i] = data[i];for (int j = 0; j < verxs; j++) {graph.weight[i][j] = weight[i][j];}}}//显示图public void showGraph(MGraph graph) {for (int[] link : graph.weight) {System.out.println(Arrays.toString(link));}}/*** prim算法，得到最小生成树* @param graph* @param v  ：表示从第几个顶点开始生成最小树。*/public void prim(MGraph graph, int v) {//标记节点是否被访问int visited[] = new int[graph.verxs];//将当前节点标记为已访问visited[v] = 1;int h1 = -1;        //标记两个顶点的下标int h2 = -1;int minWeight = 10000; //将minWeight初始化成一个大的值，后面遍历的过程中，会被替换for (int k = 1; k < graph.verxs; k++) { //第一个节点是不用使用prim算法的//确定每一次生成的子图，和哪个节点的距离最近for (int i = 0; i < graph.verxs; i++) {       //所有访问过的节点for (int j = 0; j < graph.verxs; j++) { //所有没有访问过的节点if (visited[i] ==1 && visited[j] == 0 && graph.weight[i][j] < minWeight) {minWeight = graph.weight[i][j];h1 = i ;h2 = j;}}}//找到一条最小边System.out.println("边<"+graph.data[h1]+","+graph.data[h2]+">权值："+minWeight);visited[h2] = 1;minWeight = 10000;}}
}class MGraph{int verxs;    //表示图的节点个数char[] data ; //存放节点数据int[][] weight; //存放边，就是邻接矩阵public MGraph(int verxs) {this.verxs = verxs;data = new char[verxs];weight = new int[verxs][verxs];}
}

14.7 克鲁斯卡尔算法

14.7.1 应用场景-公交站问题

某城市新增 7 个站点(A, B, C, D, E, F, G) ，现在需要修路把7 个站点连通
各个站点的距离用边线表示(权) ，比如 A – B 距离 12 公里
问：如何修路保证各个站点都能连通，并且总的修建公路总里程最短?

14.7.2 克鲁斯卡尔算法介绍

（1）克鲁斯卡尔(Kruskal)算法，是用来求加权连通图的最小生成树的算法。
（2）基本思想：按照权值从小到大的顺序选择 n-1 条边，并保证这n-1 条边不构成回路
（3）具体做法：首先构造一个只含 n 个顶点的森林，然后依权值从小到大从连通网中选择边加入到森林中，并使森林中不产生回路，直至森林变成一棵树为止

14.7.3 克鲁斯卡尔算法图解说明

第 1 步：将边<E,F>加入 R 中。
边<E,F>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果 R 中。

第 2 步：将边<C,D>加入 R 中。
上一步操作之后，边<C,D>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果 R 中。

第 3 步：将边<D,E>加入 R 中。
上一步操作之后，边<D,E>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果 R 中。

第 4 步：将边<B,F>加入 R 中。
上一步操作之后，边<C,E>的权值最小，但<C,E>会和已有的边构成回路；因此，跳过边<C,E>。同理，跳
过边<C,F>。将边<B,F>加入到最小生成树结果 R 中。

第 5 步：将边<E,G>加入 R 中。
上一步操作之后，边<E,G>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果 R 中。

第 6 步：将边<A,B>加入 R 中。
上一步操作之后，边<F,G>的权值最小，但<F,G>会和已有的边构成回路；因此，跳过边<F,G>。同理，跳过边<B,C>。将边<A,B>加入到最小生成树结果 R 中。
此时，最小生成树构造完成！它包括的边依次是：<E,F> <C,D> <D,E> <B,F> <E,G> <A,B>。

14.7.3 克鲁斯卡尔算法分析

克鲁斯卡尔算法的关键问题
根据前面介绍的克鲁斯卡尔算法的基本思想和做法，我们能够了解到，克鲁斯卡尔算法重点需要解决的以下两个问题：
（1）问题一对图的所有边按照权值大小进行排序。
（2）问题二将边添加到最小生成树中时，怎么样判断是否形成了回路。

问题一很好解决，采用排序算法进行排序即可。
问题二，处理方式是：记录顶点在"最小生成树"中的终点，顶点的终点是"在最小生成树中与它连通的最大顶点"。然后每次需要将一条边添加到最小生存树时，判断该边的两个顶点的终点是否重合，重合的话则会构成回路。

如何判断是否构成回路-举例说明(如图)

在将<E,F> <C,D> <D,E>加入到最小生成树 R 中之后，这几条边的顶点就都有了终点：
(01) C 的终点是 F。(02) D 的终点是 F。 (03) E 的终点是 F。 (04) F 的终点是 F。
PS：终点：将所有顶点按照从小到大的顺序排列好之后；某个顶点的终点就是"与它连通的最大顶点"。
虽然<C,E>是权值最小的边。但是C 和 E 的终点都是 F，即它们的终点相同，因此，将<C,E> 加入最小生成树的话，会形成回路。

因此，判断构成回路的依据：加入的边的两个顶点不能都指向同一个终点，否则将构成回路。

14.7.4 克鲁斯卡尔算法的代码实现

package com.atguigu.kruskal;
import java.util.Arrays;
public class KruskalCase {private int edgeNum; // 边的个数private char[] vertexs; // 顶点个数private int[][] matrix; // 邻接矩阵private static final int INF = Integer.MAX_VALUE; // 表示两个顶点不能连通。public static void main(String[] args) {char[] vertexs = { 'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G' };int matrix[][] = {/* A *//* B *//* C *//* D *//* E *//* F *//* G *//* A */ { 0, 12, INF, INF, INF, 16, 14 }, /* B */ { 12, 0, 10, INF, INF, 7, INF },/* C */ { INF, 10, 0, 3, 5, 6, INF }, /* D */ { INF, INF, 3, 0, 4, INF, INF },/* E */ { INF, INF, 5, 4, 0, 2, 8 }, /* F */ { 16, 7, 6, INF, 2, 0, 9 },/* G */ { 14, INF, INF, INF, 8, 9, 0 } };KruskalCase kruskalCase = new KruskalCase(vertexs, matrix);System.out.println();/** EData[] edges = kruskalCase.getEdges();* System.out.println("排序前"+Arrays.toString(edges));* kruskalCase.sortEdges(edges);* System.out.println("排序后"+Arrays.toString(edges));*/kruskalCase.kruskal();}// 构造器public KruskalCase(char[] vertexs, int[][] matrix) {// 初始化顶点数和边的个数int vlen = vertexs.length;// 初始化顶点，this.vertexs = new char[vlen];for (int i = 0; i < vertexs.length; i++) {this.vertexs[i] = vertexs[i];}// 初始化边this.matrix = new int[vlen][vlen];for (int i = 0; i < vlen; i++) {for (int j = 0; j < vlen; j++) {this.matrix[i][j] = matrix[i][j];}}// 统计边的条数for (int i = 0; i < vlen; i++) {for (int j = i + 1; j < vlen; j++) {if (this.matrix[i][j] != INF) {edgeNum++;}}}}// 对边进行排序：冒泡排序private void sortEdges(EData[] edges) {for (int i = 0; i < edges.length - 1; i++) {for (int j = 0; j < edges.length - 1 - i; j++) {if (edges[j].weight > edges[j + 1].weight) {EData temp = edges[j];edges[j] = edges[j + 1];edges[j + 1] = temp;}}}}// 返回顶点对应的下标private int getPosition(char ch) {for (int i = 0; i < vertexs.length; i++) {if (vertexs[i] == ch) {return i;}}return -1;}/*** 获取图中的边，放到EData[]数组中，后面我们需要遍历该数组，是通过matrix邻接矩阵来获取 @return：EData[]* 形式[['A','B',12],['B','F',7]……]*/private EData[] getEdges() {int index = 0;EData[] edges = new EData[edgeNum];for (int i = 0; i < vertexs.length; i++) {for (int j = i + 1; j < vertexs.length; j++) {if (matrix[i][j] != INF) {edges[index++] = new EData(vertexs[i], vertexs[j], matrix[i][j]);}}}return edges;}/*** 获取下标为i的顶点的终点，用以判断两个顶点的终点是否构成回路* * @param ends：记录了各个顶点的终点是哪个；ends是在遍历的过程中逐步形成的* @param i：传入的顶点对应的下标* @return：返回的就是下标为i的顶点对应的终点的下标。*/private int getEnd(int[] ends, int i) {while (ends[i] != 0) {i = ends[i];}return i;}// 克鲁斯卡尔算法的代码实现public void kruskal() {int index = 0; // 表示最后结果数组的索引int[] ends = new int[edgeNum]; // 用于保存“已有最小生成书“中的每个顶点在最小生成树中的终点// 创建结果数组，保存最后的最小生成树EData[] rets = new EData[edgeNum];// 获取图中所有边的集合，一共12边EData[] edges = getEdges();System.out.println("图的边的集合" + Arrays.toString(edges) + "共" + edges.length); // 12// 按照边的权值进行排序sortEdges(edges);// 遍历edges数组，将边添加到最小生成树中，判断是准备加入的边是否形成了回路，如果没有，就加入rets，否则不能加入for (int i = 0; i < edgeNum; i++) {// 获取第i条边的第一个顶点 和第二个顶点int p1 = getPosition(edges[i].start);int p2 = getPosition(edges[i].end);// 获取p1及p2这个顶点在已有最小生成树中的终点int m = getEnd(ends, p1); // m=4int n = getEnd(ends, p2); // n=5// 判断是否构成回路if (m != n) { // 没有构成回路ends[m] = n; // 设置m在已有最小生成树中的终点为n；即<E,F> [0,0,0,00,5,0,0,0,0,0,0,0]rets[index++] = edges[i];}}// 统计并打印“最小生成树”System.out.println("最小生成树为：");for (int i = 0; i < index; i++) {System.out.println(rets[i]);}}// 打印邻接矩阵public void print() {System.out.println("邻接矩阵为：");for (int i = 0; i < vertexs.length; i++) {for (int j = 0; j < vertexs.length; j++) {System.out.printf("%12d", matrix[i][j]);}System.out.println();}}
}// 创建一个EData，它的对象实例就是一条边
class EData {char start; // 边的一个顶点char end; // 边的另一个顶点int weight; // 边的权值public EData(char start, char end, int weight) {this.start = start;this.end = end;this.weight = weight;}@Overridepublic String toString() {return "EData [<" + start + "," + end + ">, weight=" + weight + "]";}
}

14.8 迪杰斯特拉算法

14.8.1 应用场景-最短路径问题

战争时期，胜利乡有 7 个村庄(A, B, C, D, E, F, G) ，现在有六个邮差，从 G 点出发，需要分别把邮件分别送到 A, B, C , D, E, F 六个村庄
各个村庄的距离用边线表示(权) ，比如 A – B 距离 5 公里
问：如何计算出 G 村庄到其它各个村庄的最短距离?
如果从其它点出发到各个点的最短距离又是多少?

14.8.2 迪杰斯特拉(Dijkstra)算法介绍

迪杰斯特拉(Dijkstra)算法是典型最短路径算法，用于计算一个结点到其他结点的最短路径。它的主要特点是以起始点为中心向外层层扩展(广度优先搜索思想)，直到扩展到终点为止。

14.8.3 迪杰斯特拉(Dijkstra)算法过程

设置出发顶点为 v，顶点集合 V{v1,v2,vi…}，v 到 V 中各顶点的距离构成距离集合 Dis，Dis{d1,d2,di…}，Dis 集合记录着 v 到图中各顶点的距离(到自身可以看作 0，v 到 vi 距离对应为 di)
从 Dis 中选择值最小的 di 并移出 Dis 集合，同时移出 V 集合中对应的顶点vi，此时的v 到vi 即为最短路径
更新 Dis 集合，更新规则为：比较 v 到 V 集合中顶点的距离值，与 v 通过 vi 到 V 集合中顶点的距离值，保留值较小的一个(同时也应该更新顶点的前驱节点为 vi，表明是通过 vi 到达的)
重复执行两步骤，直到最短路径顶点为目标顶点即可结束

package com.atguigu.dijkstra;
import java.util.Arrays;
public class DijkstraAlogrithm {public static void main(String[] args) {char[] vertex = new char[] { 'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G' };final int N = 65535; // 表示不可连接// 邻接矩阵int[][] matrix = new int[][] { { N, 5, 7, N, N, N, 2 }, { 5, N, N, 9, N, N, 3 }, { 7, N, N, N, 8, N, N },{ N, 9, N, N, N, 4, N }, { N, N, 8, N, N, 5, 4 }, { N, N, N, 4, 5, N, 6 }, { 2, 3, N, N, 4, 6, N } };Graph graph = new Graph(vertex, matrix);graph.showGraph();graph.dsj(6);graph.showDijkstra();}
}// 已访问过顶点集合
class VisitedVertex {// 记录各个顶点是否被访问过，1：访问过；0：未访问过public int[] already_arr;// 每个下标对应的值为前一个顶点下标，会动态更新public int[] pre_visited;// 记录出发顶点到其他所有顶点的距离，会动态更新，求的最短距离就会存放到dispublic int[] dis;/*** 构造器* * @param length：表示顶点的个数* @param index：出发定点对应的下标，比如G顶点，下标是6.*/public VisitedVertex(int length, int index) {this.already_arr = new int[length];this.pre_visited = new int[length];this.dis = new int[length];// 初始化dis数组Arrays.fill(dis, 65535);this.already_arr[index] = 1;this.dis[index] = 0; // 自己与自己的dis为0.}// 判断是否被访问过public boolean in(int index) {return already_arr[index] == 1;}// 更新出发顶点到index顶点的距离public void updateDis(int index, int len) {dis[index] = len;}// 更新pre这个顶点的前驱顶点为index顶点public void updatePre(int pre, int index) {pre_visited[pre] = index;}// 返回出发顶点到index顶点的距离public int getDis(int index) {return dis[index];}//继续选择并返回新的访问节点，比如G完后，就是A作为新的访问节点（注意不是出发点）public int  updateArr() {int min = 65535 ,index = 0;for (int i = 0; i < already_arr.length; i++) {if (already_arr[i] == 0 && dis[i] < min) {min = dis[i] ;index = i;}}//更新index顶点被访问过already_arr[index]=1;return index;}//显示最后结果public void show() {System.out.println("---------");for (int i : already_arr) {System.out.print(i + " ");}System.out.println();for (int i : pre_visited) {System.out.print(i +" ");}System.out.println();for (int i : dis) {System.out.print(i + " ");}System.out.println();//处理最后的结果，便于显示char[] vertex = new char[] { 'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G' };int count = 0;for (int i: dis) {if (i != 65535) {System.out.print(vertex[count]+"("+i + ")");}else {System.out.println("N");}count ++;}}
}class Graph {private char[] vertex; // 顶点数组private int[][] matrix; // 邻接矩阵private VisitedVertex visitedVertex ;    //已访问的顶点的集合public Graph(char[] vertex, int[][] matrix) {this.vertex = vertex;this.matrix = matrix;}// 显示图public void showGraph() {for (int[] link : matrix) {System.out.println(Arrays.toString(link));}}// 地杰斯特拉算法public void dsj(int index) {visitedVertex= new VisitedVertex(vertex.length, index);update(index); //更新index顶点到周围顶点的距离和前驱节点for (int i = 1; i < matrix.length; i++) {index = visitedVertex.updateArr();  //选择并返回新的访问顶点update(index);}}//更新index下标顶点到周围顶点的距离和周围顶点的前驱结点private void update(int index) {int len = 0 ;//根据遍历邻接矩阵的matrix[]行for (int j = 0; j < matrix[index].length; j++) {//len：出发顶点到index顶点的距离+从index到j顶点的距离的和len = visitedVertex.getDis(index)+matrix[index][j];//如果j顶点没有被直接访问过，并且len小于出发顶点到J顶点的距离，就需要更新if (!visitedVertex.in(j) && len < visitedVertex.getDis(j)) {visitedVertex.updatePre(j, index);visitedVertex.updateDis(j, len);}}}//显示结果public void showDijkstra() {visitedVertex.show();}
}

14.9 弗洛伊德算法

14.9.1 弗洛伊德(Floyd)算法介绍

和 Dijkstra 算法一样，弗洛伊德(Floyd)算法也是一种用于寻找给定的加权图中顶点间最短路径的算法。该算法名称以创始人之一、1978 年图灵奖获得者、斯坦福大学计算机科学系教授罗伯特·弗洛伊德命名
弗洛伊德算法(Floyd)计算图中各个顶点之间的最短路径
迪杰斯特拉算法用于计算图中某一个顶点到其他顶点的最短路径。
弗洛伊德算法 VS 迪杰斯特拉算法：迪杰斯特拉算法通过选定的被访问顶点，求出从出发访问顶点到其他顶点的最短路径；弗洛伊德算法中每一个顶点都是出发访问点，所以需要将每一个顶点看做被访问顶点，求出从每一个顶点到其他顶点的最短路径。

14.9.2 弗洛伊德(Floyd)算法图解分析

设置顶点 vi 到顶点 vk 的最短路径已知为 Lik，顶点vk 到vj 的最短路径已知为 Lkj，顶点vi 到vj 的路径为Lij，则 vi 到vj 的最短路径为：min((Lik+Lkj),Lij)，vk 的取值为图中所有顶点，则可获得 vi 到 vj 的最短路径
至于 vi 到 vk 的最短路径 Lik 或者 vk 到 vj 的最短路径Lkj，是以同样的方式获得

弗洛伊德算法的步骤：
（1）第一轮循环中，以 A(下标为：0)作为中间顶点【即把 A 作为中间顶点的所有情况都进行遍历, 就会得到更新距离表和前驱关系】，距离表和前驱关系更新为：

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