LeetCode 1444. 切披萨的方案数（一）

给你一个 rows x cols 大小的矩形披萨和一个整数 k ，矩形包含两种字符： ‘A’ （表示苹果）和 ‘.’ （表示空白格子）。你需要切披萨 k-1 次，得到 k 块披萨并送给别人。

切披萨的每一刀，先要选择是向垂直还是水平方向切，再在矩形的边界上选一个切的位置，将披萨一分为二。如果垂直地切披萨，那么需要把左边的部分送给一个人，如果水平地切，那么需要把上面的部分送给一个人。在切完最后一刀后，需要把剩下来的一块送给最后一个人。

请你返回确保每一块披萨包含至少一个苹果的切披萨方案数。由于答案可能是个很大的数字，请你返回它对 10^9 + 7 取余的结果。

解题思路：
下面两张图展示了每次切披萨的时候面临的两种选择：水平切和竖直切（由于版面限制，呈现在两张图中）。阴影部分是一刀切下后，能即刻分到的披萨，每次切需要保证即刻分得的披萨内部“A”的数量至少为1（“A”即Apple）。第二张图中蓝色阴影内“A”数量为0，为不合法的切割方式。
切割后，剩余披萨是否合法，需要看所剩披萨内“A”的数目是否不小于尚未分得披萨人数，如果小于则不合法。

但可能存在重叠的子问题，增加算法时间复杂度，如下图。

采用一般的动态规划dp[index][iterator]思想。
dp[m][n][k]前两个维度是坐标，最后一个维度是cuts数，用来表示右下角的pizza切k cuts有多少种合法的切法。如果k=0，则表示一刀不切时，这块pizza是否合法（即是否至少含一个苹果），此时也是递归问题的base case。
def dp[m][n][k]:
if k==0：return 1 if hasApple(pizza[m:M][n:N]) else 0.

class Solution {public:int ways(vector<string>& pizza, int K) {int kMod=1e9+7;int M=pizza.size();int N=pizza[0].size();vector<vector<int>> presum(M+1,vector<int>(N+1));for(int i=0;i<M;i++){for(int j=0;j<N;j++){presum[i+1][j+1]=presum[i][j+1]+presum[i+1][j]-presum[i][j]+(pizza[i][j]=='A');}}//左上角前缀和auto hasApples=[&](int x1,int y1,int x2,int y2){return presum[x2+1][y2+1]-presum[x1][y2+1]-presum[x2+1][y1]+presum[x1][y1]>0;};//求解任意一个子矩阵是否有苹果vector<vector<vector<int>>> cache(M,vector<vector<int>> (N,vector<int>(K,-1)));function<int(int,int,int)> dp=[&](int m,int n,int k)->int{if(k==0)    return hasApples(m,n,M-1,N-1);int res=cache[m][n][k];if(res!=-1) return res;res=0;for(int x=m;x<M-1;x++){res=(res+hasApples(m,n,x,N-1)*dp(x+1,n,k-1))%kMod;}for(int y=n;y<M-1;y++){res=(res+hasApples(m,n,M-1,y)*dp(m,y+1,k-1))%kMod;}return res;};return dp(0,0,K-1);}
};

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