导言

狭义相对论其实很简单，甚至简单得出乎你的预料 — 它大概只需要初中水平的物理和数学知识就可以了。

要理解狭义相对论，只需要理解下面两个原理：

相对性原理
光速不变原理

相对性原理

相对性原理是伽利略提出来的，它的完整描述是：在任何惯性参考系下力学规律都相同。相对性原理非常简单，打个比方，你在地面上做一个力学实验，与在匀速运动的火车中做一个力学实验，两者的规律相同。比如你在地面上立定跳远的距离是2.8米，那你在火车上立定跳远的距离也一定是2.8米，并且，不管你是向车头跳，还是向车尾跳，都是一样的；地面上水龙头的水是垂直往下滴的，在火车上水龙头的水同样是垂直往下滴的 — 这些不是初中的物理知识吗？

这里是一个分割符，上面的相对性原理并不必然导致下面的结论，但是我们的初中物理就是象下面这样教的。

初中的物理知识告诉我们：如果火车相对地面的速度是 v 1 v_1 v1，你在火车上往车头的方向以 v 2 v_2 v2的速度往前走，则你相对地面的速度就是 v 1 + v 2 v_1+v_2 v1+v2。
接下来我们引入一个概念：时空坐标。
首先讲空间坐标，空间坐标我们都很熟悉，你只要定义一个原点，再定义X,Y,Z轴的方向，就能够确定三维空间中任何一个点的位置。我们简化一下，定义原点和X轴，就能够确定一维空间的位置。— 这个大概是初中的数学知识吧。
在空间坐标的基础上引入时间的概念，就是时空坐标。假如在时间 t = 0 t=0 t=0时，物体在原点的位置。物体在移动，而时间在流逝，所以在一维空间中，用 ( t , x ) (t,x) (t,x)就能够确定物体在时刻t的位置 x x x，这就是时空坐标。
这样，我们就很容易得到不同参考系下时空坐标的转换关系：我们将火车的原点与地面的原点重合的那一瞬间的时刻定义为时刻0，此后，火车上的一个物体在 t ′ t' t′时刻时移动到了 x ′ x' x′的位置， ( x ′ , t ′ ) (x',t') (x′,t′)就是它在火车参考系中的时空坐标。设 ( x , t ) (x,t) (x,t)是物体在地面参考系下的时空坐标，则必然有：
{ x = v t ′ + x ′ t = t ′ \begin{cases} x = vt' + x' \\ t = t' \end{cases} {x=vt′+x′t=t′

这个是在把火车参考系下的时空坐标转换为地面参考系下的时空坐标的公式。同样我们还可以得到把地面参考系下的时空坐标转换为火车参考系下的时空坐标的公式：
{ x ′ = x − v t t ′ = t \begin{cases} x'= x -vt \\ t'= t \end{cases} {x′=x−vtt′=t

这个就称为伽利略变换，简单吧。

这里又是一个分割线，要理解狭义相对论，下面的内容至为关键。

上面的伽利略变换，看似没有任何问题，也是符合我们的常识的。但是，其实这里面问题很大。

在 x = v t ′ + x ′ x=vt'+x' x=vt′+x′这个式子中，对于空间中的两点， x x x是地面坐标系中测得的距离， v t ′ + x ′ vt' + x' vt′+x′是火车坐标系中测得的距离，注意它们处于不同的坐标系，你凭什么认为两者相等？
t = t ′ t=t' t=t′这个式子的含义是：两个坐标系的时钟走的是一样快的。但是你凭什么这样说？有根据吗？

我们来考察一下这两个问题，这两个问题的实质是一样的，但是第二个理解起来可能容易一点，所以我们先说第二个。

我们可能并没有认识到，所谓时间，其实是我们人类创造出来的东西，而并不是象物质一样，是真实存在的。有人可能会说，我们在一天天变老啊，怎么时间就不存在了呢？不好意思，你一天天变老，物质确实在发生变化，但是这跟时间的度量没有任何关系。还有的人说，地球一天自转一圈，这总是存在的吧，我把它除以24，再除以60，得到的数值定义为1秒钟，时间不就出来了吗？不好意思，这个只是你在地球上看到的，离开了地球这个坐标系，你这个定义完全没有意义。
所以说，你只能在一个参考系中人为地定义时钟，但是说两个坐标系的时钟走的是一样快的，则完全没有根据。爱因斯坦的观点是，当两个坐标系存在相对速度时，它们的时钟走的不一样快，相对速度越大，则时钟快慢的差距越大。
再来说说第二个问题，对于空间中的两点（比如一根筷子的两端），你没有任何根据能够证明，在不同的参考系下测量出来的它们的距离是相等的。爱因斯坦的观点是，当两个坐标系存在相对速度时，测得的距离不同，相对速度越大，则测得的距离的差距越大。

因而，到现在为止我们得出的结论是，相对论只承认“在任何惯性参考系下力学规律都相同”，注意这里只涉及到任何单一的坐标系，而并不承认上面的用于不同坐标系下时空关系转换的伽利略变换。

光速不变原理

麦克斯韦方程组揭示了电磁学的基本规律，通过它可以计算出光的速度 c c c大概是30万公里/秒。但是麦克斯韦方程组并没有告诉我们这个光的速度参照的是哪个参考系。上面我们讲了，在任何惯性参考系下力学规律都相同。那么现在的问题是，在任何惯性参考系下电磁学的规律也都相同吗？如果相同，则麦克斯韦方程组在任何惯性参考系下都成立，所以必然有：在火车的原点与地面的原点重合时发出的一束光，在经过一段时间后到达一个位置，这个事件在地面上测得的时间是 t t t，两点之间的距离是 x x x，同时这个事件在火车上测得的时间是 t ′ t' t′，两点之间的距离是 x ′ x' x′，则一定有
x / t = x ′ / t ′ = c x/t = x'/t' = c x/t=x′/t′=c

相对论是承认上述结论的，这个就是光速不变原理。

然而这个例子用伽利略变换是解释不通的，因为按照伽利略变换，经过的这段时间，在地面上看来和在火车上看来是相同的，也就是 t = t ′ t=t' t=t′，测得的两点之间的距离也是相同的，也就是 x = x ′ x=x' x=x′。如果我们设火车相对地面的速度 v v v是1，经过的这段时间是1秒钟，则必然得出

1 ∗ 1 + 3000000000 = 3000000000 1*1 + 3000000000 = 3000000000 1∗1+3000000000=3000000000

这显然是错的。

所以结论是，如果我们同时承认在所有惯性系中力学规律都相同和在所有惯性系中电磁学规律都相同，也就是，如果同时承认相对性原理和光速不变原理，则伽利略变换必须被抛弃。

下面说一个小插曲，不看这个小插曲，也不影响你理解相对论。
在物理学的发展历史上，光速不变原理并不是那么轻易地获得物理学家的认可的。起初人们认为，所谓速度，一定是在某个参考系下才能测得的，难道不是吗？那么，光速30万公里/秒，是在哪个参考系下测得的呢？人们当时认为是“以太”。由于地球跟“以太”是两个不同的参考系，它们之间应该是有相对速度的。迈克尔逊-莫雷实验的目的就是要测出地球与“以太”之间的相对速度，然而，实验的结果表明：如果“以太”存在，那么地球与“以太”之间的相对速度是0。

相对论

上面已经提到了，如果同时承认相对性原理和光速不变原理，则伽利略变换必须被抛弃。爱因斯坦认为，在不同的坐标系中空间的度量和时间的度量都存在差异，那么差异是多少呢，我们现在就可以来算一算。但是在正戏上演之前，我们要先补充上一个小课。

注意上面的 v v v，我们把它定义为火车相对于地面的速度，这个是在地面这个坐标系下说的。对于火车这个坐标系，我们则会说，地面相对火车的速度是 v v v。

也就是说：任何两个坐标系A和B，它们的地位是相同的，没有哪个更特殊一点，也没有哪个是“宇宙的中心”，我们必须学会，在A坐标系中看B，与在B坐标系中看A，是完全相同的。

好了，正戏上演。

我们先站在地面参考系下来考虑问题，上面这两点的距离是 x x x，在火车参考系下测得的距离是 v t ′ + x ′ vt'+x' vt′+x′，这两个距离并不相等，设尺度伸缩因子为 k ′ k' k′，则有

x = k ′ ( v t ′ + x ′ ) x = k'(vt'+x') x=k′(vt′+x′)

现在我们站在火车参考系下来考虑问题，火车相对于那个点的距离是 x ′ x' x′，在地面参考系下，火车与那个点的距离是 x − v t x-vt x−vt，这两个距离也不相等，设尺度伸缩因子是 k k k，则有

x ′ = k ( x − v t ) x'=k(x-vt) x′=k(x−vt)

由于两个坐标系地位相等，则必然有 k = k ′ k=k' k=k′。将上面两个式子相乘，则得到

x x ′ = k 2 ( v t ′ + x ′ ) ( x − v t ) xx' = k^2(vt'+x')(x-vt) xx′=k2(vt′+x′)(x−vt)

根据光速不变原理， x = c t x=ct x=ct， x ′ = c t ′ x'=ct' x′=ct′。带入到上面的式子中，得到

c 2 t t ′ = k 2 ( c + v ) ( c − v ) t t ′ c^2tt' = k^2(c+v)(c-v)tt' c2tt′=k2(c+v)(c−v)tt′
也就是
c 2 = k 2 ( c 2 − v 2 ) c^2=k^2(c^2-v^2) c2=k2(c2−v2)
这样得到伸缩尺度因子
k = 1 1 − ( v c ) 2 k=\frac{1}{\sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}} k=1−(cv)2 1
接下来的步骤我就省略了，交给初中数学吧。总之，得出的时空变换关系如下：

{ x = x ′ + v t ′ 1 − ( v c ) 2 t = t ′ + v x ′ / c 2 1 − ( v c ) 2 \begin{cases} x= \frac{x'+vt'}{\sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}} \\ t= \frac{t'+vx'/c^2}{\sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}} \end{cases} ⎩⎨⎧x=1−(cv)2 x′+vt′t=1−(cv)2 t′+vx′/c2

这个是火车坐标系下的时空坐标转换为地面坐标系下的时空坐标的公式。同样可以得到地面坐标系下的时空坐标转换为火车坐标系下的时空坐标的公式如下：

{ x ′ = x − v t 1 − ( v c ) 2 t ′ = t − v x / c 2 1 − ( v c ) 2 \begin{cases} x'= \frac{x-vt}{\sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}} \\ t'= \frac{t-vx/c^2}{\sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}} \end{cases} ⎩⎨⎧x′=1−(cv)2 x−vtt′=1−(cv)2 t−vx/c2

这就是洛伦兹变换。上面的 k k k称为洛伦兹因子。

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