在（0，1）二元域上寻找8次不可约多项式

由于8次多项式有9个系数，其中8次的系数一定为一，所以它的全体为2⁸个，即256个，0~255。8次可约的多项式全体B为B1,B2,B3,B4的并集。其中B1为1次多项式与7次多项式的乘积，B2为2次多项式与6次多项式的乘积，B3为3次多项式与5次多项式的乘积，B4为4次多项式与4次多项式的乘积。全集S-B=A，此时A为8次不可约多项式的全体。（S，A，B）均为集合。

为求出8次不可约多项式全体S，需要求得8次多项式全集与8次可约多项式全集，并将它们做差，求得8次不可约多项式全体。建立数学模型的基本步骤如下：

第一步：构造8次多项式全集

算法一：8次多项式中 $x^{8}$ 的系数为1，其他项系数任意，则系数矩阵为100000000~111111111，观察系数矩阵的变化规律：第一列全为1；第二列平均分为两份，上面全为0，下面全为1；第三列平均分为四份，前0~1/4，2/4~3/3全为0，1/4~2/4，3/4~最后全为1……以此类推：第1行全为1，以后每一行行数减1模（n表示第n列）得到的数字若大于列数/，此处系数置为1，反之为0。

eg：4次多项式的系数如下所示（二元域）

算法二：因为系数开始为100000000B，并且每次加1，直到111111111B。想要得到S，可以将系数拆分为9个数字。最终成为系数矩阵。

第二步：构造8次可约多项式的全

1，2，3，4，5，6，7次多项式的构造与8次多项式的构造一致。B4集由2个4次多项式矩阵相乘求得，1个4次多项式矩阵为16行5列，两个矩阵相乘将得到256种结果。假设其中系数为10010与系数为11101的多项式相乘。它们下标之和为2~10，相乘得到8次多项式，所以相乘后系数矩阵应为9位，下标为1~9。可以表示为k-1。如果下标之和为k,那么它们的系数之和是k-2次多项式的系数。最终得到B4，将B4模2即可得到0，二元域上的多项式。B1，B2，B3集合与B4求法一致。

第三步：做差

调用union（matlab）函数求得B1，B2，B3，B4的并集B，调用setdiff函数求全集S与B的差集A，A就是8次不可约多项式的系数。

%8次不可约多项式的寻找
B1=zeros(256,9);
B11=zeros(2,2);
B17=zeros(128,8);
B2=zeros(256,9);
B22=zeros(4,3);
B26=zeros(64,7);
B3=zeros(256,9);
B33=zeros(8,4);
B35=zeros(32,6);
B4=zeros(256,9);
B414=zeros(16,5);
B424=zeros(16,5);S=zeros(256,9);%8次不可约多项式的全体S系数矩阵的构造
s1=size(S,1);
s2=size(S,2);for i=1:s1for j=1:s2if(j==1)S(i,j)=1;endif(j>=2)n=j-2;p=2^n;h=mod((i-1),s1/p);if(h>=(s1/(p*2)))S(i,n+2)=1;elseS(i,n+2)=0;endendend
end%1次多项式B11  系数矩阵的构造
s1=size(B11,1);
s2=size(B11,2);for i=1:s1for j=1:s2if(j==1)B11(i,j)=1;endif(j>=2)n=j-2;p=2^n;h=mod((i-1),s1/p);if(h>=(s1/(p*2)))B11(i,n+2)=1;elseB11(i,n+2)=0;endendend
end%7次多项式B17  系数矩阵的构造
s1=size(B17,1);
s2=size(B17,2);for i=1:s1for j=1:s2if(j==1)B17(i,j)=1;endif(j>=2)n=j-2;p=2^n;h=mod((i-1),s1/p);if(h>=(s1/(p*2)))B17(i,n+2)=1;elseB17(i,n+2)=0;endendend
end%2次多项式B22  系数矩阵的构造
s1=size(B22,1);
s2=size(B22,2);for i=1:s1for j=1:s2if(j==1)B22(i,j)=1;endif(j>=2)n=j-2;p=2^n;h=mod((i-1),s1/p);if(h>=(s1/(p*2)))B22(i,n+2)=1;elseB22(i,n+2)=0;endendend
end%6次多项式B26  系数矩阵的构造
s1=size(B26,1);
s2=size(B26,2);for i=1:s1for j=1:s2if(j==1)B26(i,j)=1;endif(j>=2)n=j-2;p=2^n;h=mod((i-1),s1/p);if(h>=(s1/(p*2)))B26(i,n+2)=1;elseB26(i,n+2)=0;endendend
end%3次多项式B33  系数矩阵的构造
s1=size(B33,1);
s2=size(B33,2);for i=1:s1for j=1:s2if(j==1)B33(i,j)=1;endif(j>=2)n=j-2;p=2^n;h=mod((i-1),s1/p);if(h>=(s1/(p*2)))B33(i,n+2)=1;elseB33(i,n+2)=0;endendend
end%5次多项式B35  系数矩阵的构造
s1=size(B35,1);
s2=size(B35,2);for i=1:s1for j=1:s2if(j==1)B35(i,j)=1;endif(j>=2)n=j-2;p=2^n;h=mod((i-1),s1/p);if(h>=(s1/(p*2)))B35(i,n+2)=1;elseB35(i,n+2)=0;endendend
end%4次多项式B414  系数矩阵的构造
s1=size(B414,1);
s2=size(B414,2);for i=1:s1for j=1:s2if(j==1)B414(i,j)=1;endif(j>=2)n=j-2;p=2^n;h=mod((i-1),s1/p);if(h>=(s1/(p*2)))B414(i,n+2)=1;elseB414(i,n+2)=0;endendend
end%4次多项式B424  系数矩阵的构造
s1=size(B424,1);
s2=size(B424,2);for i=1:s1for j=1:s2if(j==1)B424(i,j)=1;endif(j>=2)n=j-2;p=2^n;h=mod((i-1),s1/p);if(h>=(s1/(p*2)))B424(i,n+2)=1;elseB424(i,n+2)=0;endendend
end%B4矩阵的构造  两个4次多项式相乘
m=size(B414,1);
n=size(B424,1);
p=size(B414,2);
q=size(B424,2);sum=0;
for i1=1:mfor i2=1:nh=zeros(1,9);w=0;sum=sum+1;for j1=1:pfor j2=1:qk=j1+j2;w=B414(i1,j1)*B424(i2,j2);h(1,k-1)=h(1,k-1)+w;endendh(1,:)=mod(h(1,:),2);B4(sum,:)=h;end
end%B3矩阵的构造  3次多项式与5次多项式相乘
m=size(B33,1);
n=size(B35,1);
p=size(B33,2);
q=size(B35,2);sum=0;
for i1=1:mfor i2=1:nh=zeros(1,9);w=0;sum=sum+1;for j1=1:pfor j2=1:qk=j1+j2;w=B33(i1,j1)*B35(i2,j2);h(1,k-1)=h(1,k-1)+w;endendh(1,:)=mod(h(1,:),2);B3(sum,:)=h;end
end%B2矩阵的构造  2次多项式与6次多项式相乘
m=size(B22,1);
n=size(B26,1);
p=size(B22,2);
q=size(B26,2);sum=0;
for i1=1:mfor i2=1:nh=zeros(1,9);w=0;sum=sum+1;for j1=1:pfor j2=1:qk=j1+j2;w=B22(i1,j1)*B26(i2,j2);h(1,k-1)=h(1,k-1)+w;endendh(1,:)=mod(h(1,:),2);B2(sum,:)=h;end
end%B1矩阵的构造  1次多项式与7次多项式相乘
m=size(B11,1);
n=size(B17,1);
p=size(B11,2);
q=size(B17,2);sum=0;
for i1=1:mfor i2=1:nh=zeros(1,9);w=0;sum=sum+1;for j1=1:pfor j2=1:qk=j1+j2;w=B11(i1,j1)*B17(i2,j2);h(1,k-1)=h(1,k-1)+w;endendh(1,:)=mod(h(1,:),2);B1(sum,:)=h;end
end%求8次可约多项式的并集
[B12,IA1,IB1] = union(B1,B2,'rows');
[B34,IA2,IB2] = union(B3,B4,'rows');
[B,IA3,IB3] = union(B12,B34,'rows');
%8次多项式全体与8次可约多项式求差集得到8次不可约多项式
[A,ia]=setdiff(S,B,'rows');
A = unique (A,'rows');

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