点积与叉积

1. 向量的点积与叉积
- 1.1 向量的点积
- 1.2 向量的叉积
2 矩阵的点积与叉积
- 2.1 矩阵的点积
- 2.2 矩阵的叉积
3. 元素积
4. 克罗内克积

1. 向量的点积与叉积

1.1 向量的点积

数量积又称标量积（Scalar product）、点积（Dot product），在欧几里得空间（Euclidean space）中称为内积（Inner product），对应元素相乘相加，结果是一个标量（即一个数）。

对于向量a⃗=(a1,a2)，b⃗=(b1,b2)\vec{a}=\left( {{a}_{1}},{{a}_{2}} \right)，\vec{b}=\left( {{b}_{1}},{{b}_{2}} \right)a=(a1,a2)，b=(b1,b2)，两者的数量积：a⃗⋅b⃗=a1b1+a2b2\vec{a}\cdot \vec{b}= {{a}_{1}}{{b}_{1}}+{{a}_{2}}{{b}_{2}}a⋅b=a1b1+a2b2 a⃗⋅b⃗\vec{a}\cdot \vec{b}a⋅b的几何意义是a⃗\vec{a}a在b⃗\vec{b}b方向上的投影（仅在二维、三维空间向量有意义）：a⃗⋅b⃗=∣a⃗∣∗∣b⃗∣∗cosθ\vec{a}\cdot \vec{b}=\left| {\vec{a}} \right|* | {\vec{b}} | *cos\theta a⋅b=∣a∣∗∣b∣∗cosθ其中，∣a⃗∣\left| {\vec{a}} \right|∣a∣ 、∣b⃗∣|{\vec{b}}|∣b∣分别为向量a⃗\vec{a}a、b⃗\vec{b}b的模，θ\thetaθ为向量a⃗\vec{a}a、b⃗\vec{b}b的夹角。

numpy中使用np.dot或numpy.inner()实现向量的点积

举例a⃗=(1,2,3)b⃗=(4,5,6)\vec{a} = (1,2,3) \;\;\;\; \vec{b} = (4,5,6)a=(1,2,3)b=(4,5,6)a⃗⋅b⃗=1×4+2×5+3×6=32\vec{a}\cdot \vec{b}= 1\times 4 + 2 \times 5 +3\times 6 = 32a⋅b=1×4+2×5+3×6=32

import numpy as np
a = np.array([1,2,3])
b = np.array([4,5,6])
## 数量积  使用np.dot或np.inner
print(np.dot(a,b))

1.2 向量的叉积

向量积又称矢量积（Vector product）、叉积（Cross product）、外积（Outer product），结果是一个向量。

对于向量a⃗=(a1,a2,a3)b⃗=(b1,b2,b3)\vec{a}=\left( {{a}_{1}},{{a}_{2}}, {{a}_{3}} \right)~\vec{b}=\left( {{b}_{1}},{{b}_{2}} ,{{b}_{3}}\right)a=(a1,a2,a3) b=(b1,b2,b3)，两者的叉积为a⃗\vec{a}a和b⃗\vec{b}b的法向量，该向量垂直于a⃗\vec{a}a和b⃗\vec{b}b构成的平面。a⃗×b⃗=∣ijka1a2a3b1b2b3∣=(a2b3−b2a3)i⃗−(a1b3−b1a3)j⃗+(a1b2−b1a2)k⃗\vec{a} \times \vec{b}= \begin{vmatrix}i & j & k \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ \end{vmatrix} = (a_2b_3-b_2a_3)\vec{i} - (a_1b_3-b_1a_3)\vec{j}+(a_1b_2-b_1a_2)\vec{k}a×b=∣∣ia1b1ja2b2ka3b3∣∣=(a2b3−b2a3)i−(a1b3−b1a3)j+(a1b2−b1a2)k其中，i，j，ki，j，ki，j，k分别是X，Y，ZX，Y，ZX，Y，Z轴方向的单位向量.

该向量的模∣a⃗×b⃗∣=∣a⃗∣∗∣b⃗∣∗sinθ|\vec{a} \times \vec{b}| =\left| {\vec{a}} \right|*| {\vec{b}} |*sin\theta ∣a×b∣=∣a∣∗∣b∣∗sinθ其中，∣a⃗∣\left| {\vec{a}} \right|∣a∣ 、∣b⃗∣|{\vec{b}}|∣b∣分别为向量a⃗\vec{a}a、b⃗\vec{b}b的模，θ\thetaθ为向量a⃗\vec{a}a、b⃗\vec{b}b的夹角。

即，叉积的长度∣a⃗×b⃗∣|\vec{a} \times \vec{b}|∣a×b∣为向量a⃗\vec{a}a、b⃗\vec{b}b共起点时，构成平行四边形的面积。

numpy中使用np.cross实现向量的叉积

举例a⃗=(1,2,3)b⃗=(4,5,6)\vec{a} = (1,2,3) \;\;\;\; \vec{b} = (4,5,6)a=(1,2,3)b=(4,5,6)a⃗⋅b⃗=(2×6−3×5,4×3−1×6,1×5−2×4)=(−3,6,−3)\vec{a}\cdot \vec{b}=(2\times 6 -3\times 5 , 4 \times 3 - 1\times 6,1\times 5 - 2 \times 4)=(-3,6,-3)a⋅b=(2×6−3×5,4×3−1×6,1×5−2×4)=(−3,6,−3)

import numpy as np
a = np.array([1,2,3])
b = np.array([4,5,6])
## 叉积  使用np.cross
print(np.cross(a,b))

点积与叉积小结：

名称	点积/数量积/标量积/内积/	叉积/向量积/矢量积/外积
输入（以R3R^3R3为例）	a⃗=(a1,a2,a3),b⃗=(b1,b2,b3)\vec{a}=\left( {{a}_{1}},{{a}_{2}}, {{a}_{3}} \right),\vec{b}=\left( {{b}_{1}},{{b}_{2}} ,{{b}_{3}}\right)a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3)	a⃗=(a1,a2,a3),b⃗=(b1,b2,b3)\vec{a}=\left( {{a}_{1}},{{a}_{2}}, {{a}_{3}} \right),\vec{b}=\left( {{b}_{1}},{{b}_{2}} ,{{b}_{3}}\right)a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3)
运算	a⃗⋅b⃗=a1b1+a2b2+a3b3\vec{a}\cdot \vec{b}= {{a}_{1}}{{b}_{1}}+{{a}_{2}}{{b}_{2}}+{{a}_{3}}{{b}_{3}} a⋅b=a1b1+a2b2+a3b3	a⃗×b⃗=∣ijka1a2a3b1b2b3∣\vec{a} \times \vec{b}=\begin{vmatrix}i & j & k \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ \end{vmatrix}a×b=∣∣ia1b1ja2b2ka3b3∣∣
输出	数值（标量）：a⃗\vec{a}a在b⃗\vec{b}b方向上的投影与∣b⃗∣\|\vec{b}\|∣b∣的乘积，即 ∣a⃗∣∗∣b⃗∣∗cosθ\| \vec{a} \|* \| \vec{b}\|*cos\theta∣a∣∗∣b∣∗cosθ	向量（矢量）：a⃗\vec{a}a和b⃗\vec{b}b的法向量，该向量的模为 ∣a⃗∣∗∣b⃗∣∗sinθ\| \vec{a} \|* \| \vec{b}\|*sin\theta∣a∣∗∣b∣∗sinθ

注：数量、向量常用于数学；而标量、矢量常用于物理

2 矩阵的点积与叉积

2.1 矩阵的点积

对于AAA矩阵（m×sm \times sm×s阶），BBB矩阵（s×ns \times ns×n阶）（A的列数与B的行数相等），
A=[a11a12⋯a1sa21a22⋯a2s⋯⋯⋱⋮am1am2⋯ams]B=[b11b12⋯b1nb21b22⋯b2n⋯⋯⋱⋮bs1bs2⋯bsn]A=\left[ \begin{matrix} {{a}_{11}} & {{a}_{12}} & \cdots & {{a}_{1s}} \\ {{a}_{21}} & {{a}_{22}} & \cdots & {{a}_{2s}} \\ \cdots & \cdots & \ddots & \vdots \\ {{a}_{m1}} & {{a}_{m2}} & \cdots & {{a}_{ms}} \\ \end{matrix} \right]~~~~~B=\left[ \begin{matrix} {{b}_{11}} & {{b}_{12}} & \cdots & {{b}_{1n}} \\ {{b}_{21}} & {{b}_{22}} & \cdots & {{b}_{2n}} \\ \cdots & \cdots & \ddots & \vdots \\ {{b}_{s1}} & {{b}_{s2}} & \cdots & {{b}_{sn}} \\ \end{matrix} \right]A=⎣⎡a11a21⋯am1a12a22⋯am2⋯⋯⋱⋯a1sa2s⋮ams⎦⎤ B=⎣⎡b11b21⋯bs1b12b22⋯bs2⋯⋯⋱⋯b1nb2n⋮bsn⎦⎤两者的点积，即矩阵相乘的结果C=ABC=ABC=AB是m×nm\times nm×n阶矩阵，
C=AB=[c11c12⋯c1nc21c22⋯c2n⋯⋯⋱⋮cm1cm2⋯cmn]C=AB=\left[ \begin{matrix} {{c}_{11}} & {{c}_{12}} & \cdots & {{c}_{1n}} \\ {{c}_{21}} & {{c}_{22}} & \cdots & {{c}_{2n}} \\ \cdots & \cdots & \ddots & \vdots \\ {{c}_{m1}} & {{c}_{m2}} & \cdots & {{c}_{mn}} \\ \end{matrix} \right]C=AB=⎣⎡c11c21⋯cm1c12c22⋯cm2⋯⋯⋱⋯c1nc2n⋮cmn⎦⎤其中，矩阵CCC中的元素满足cij=∑k=1saikbkj{{c}_{ij}}=\sum_{k=1}^{s}{{a}_{ik}}{{b}_{kj}}cij=k=1∑saikbkj举例A1=[1234]B1=[5678]，A2=[123123]B2=[123]A_1 = \begin{bmatrix}1 & 2 \\3 & 4\end{bmatrix}\;\;\;\; B_1 = \begin{bmatrix}5 & 6 \\7 & 8\end{bmatrix}， \;\;\;\; A_2 = \begin{bmatrix}1 & 2 & 3\\1 & 2 & 3\end{bmatrix}\;\;\;\; B_2 = \begin{bmatrix}1\\2\\3 \end{bmatrix} \;\;\;\;A1=[1324]B1=[5768]，A2=[112233]B2=⎣⎡123⎦⎤A1B1=[19224350]，A2B2=[1414]A_1B_1 = \begin{bmatrix}19 & 22 \\43 & 50\end{bmatrix}， \;\;\;\; A_2B_2 = \begin{bmatrix}14&14\end{bmatrix}A1B1=[19432250]，A2B2=[1414]numpy实现

import numpy as np
A1 = np.array([[1,2],[3,4]])
B2 = np.array([[5,6],[7,8]])
A2 = np.array([[1,2,3],[1,2,3]])
B2 = np.array([1,2,3])
## 数量积  使用np.dot
print(np.dot(A1,B1))
print(np.dot(A2,B2))

此外，numpyt提供了numpy.inner()函数，从字面意思理解是内积，其针对向量numpy.inner()与numpy.dot()输出一致，但针对矩阵有所不同。

print(np.inner(A1,B1))

输出为[17233953]\begin{bmatrix}17 & 23 \\39 & 53\end{bmatrix}[17392353]
其中，17=1×5+2×6，23=1×7+2×817=1 \times 5 +2\times 6，23 = 1\times 7 +2\times 817=1×5+2×6，23=1×7+2×839=3×5+4×6，53=3×7+4×839 = 3\times 5 +4\times 6，53=3\times7 +4\times 839=3×5+4×6，53=3×7+4×8

print(np.inner(A2,B2))

输出为[1414]\begin{bmatrix}14&14\end{bmatrix}[1414]

2.2 矩阵的叉积

针对矩阵并不存在叉积的概念，numpy中针对矩阵的叉积运算是按照向量的叉积进行运算。

举例
A1=[1234]B1=[5678]，A2=[123123]B2=[123]A_1 = \begin{bmatrix}1 & 2 \\3 & 4\end{bmatrix}\;\;\;\; B_1 = \begin{bmatrix}5 & 6 \\7 & 8\end{bmatrix}， \;\;\;\; A_2 = \begin{bmatrix}1 & 2 & 3\\1 & 2 & 3\end{bmatrix}\;\;\;\; B_2 = \begin{bmatrix}1\\2\\3 \end{bmatrix} \;\;\;\;A1=[1324]B1=[5768]，A2=[112233]B2=⎣⎡123⎦⎤A1×B1=[−4−4]，A2×B2=[000000]A_1 \times B_1 = \begin{bmatrix}-4&-4\end{bmatrix}， \;\;\;\; A_2 \times B_2 = \begin{bmatrix}0 & 0&0 \\0 & 0&0\end{bmatrix} A1×B1=[−4−4]，A2×B2=[000000]numpy实现

import numpy as np
A1 = np.array([[1,2],[3,4]])
B1 = np.array([[5,6],[7,8]])
A2 = np.array([[1,2,3],[1,2,3]])
B2 = np.array([1,2,3])
## 叉积  使用np.cross
print(np.cross(A1,B1))
print(np.cross(A2,B2))

3. 元素积

元素积(element-wise product, point-wise product）又称哈达玛积（Hadamard product )、舒尔积、逐项积，对应元素相乘，结果还是向量/矩阵。

对于 nnn维向量 a⃗=(a1,a1,...,an)，b⃗=(b1,b2,...,bn)\vec{a}=\left( {{a}_{1}},{{a}_{1}},..., {{a}_{n}} \right)~，\vec{b}=\left( {{b}_{1}},{{b}_{2}} ,...,{{b}_{n}}\right)a=(a1,a1,...,an) ，b=(b1,b2,...,bn)，两者的元素积：a⃗∗b⃗=(a1b1,a2b2,...,anbn)\vec{a} * \vec{b}= ({{a}_{1}{b}_{1}},{{a}_{2}}{{b}_{2}},...,{{a}_{n}}{{b}_{n}} ) a∗b=(a1b1,a2b2,...,anbn)对于同阶矩阵(m×nm \times nm×n）AAA、BBB，两者的哈达玛(Hadamard)积：A∘B=[a11b11a12b12⋯a1nb1na21b21a22b22⋯a2nb2n⋯⋯⋱⋮am1bm1am2bm2⋯amnbmn]A \circ B = \left[ \begin{matrix} {{a}_{11}{b}_{11}} & {{a}_{12}{b}_{12}} & \cdots & {{a}_{1n}{b}_{1n}} \\ {{a}_{21}{b}_{21}} & {{a}_{22}{b}_{22}} & \cdots & {{a}_{2n}{b}_{2n}} \\ \cdots & \cdots & \ddots & \vdots \\ {{a}_{m1}{b}_{m1}} & {{a}_{m2}{b}_{m2}} & \cdots & {{a}_{mn}{b}_{mn}} \\ \end{matrix} \right]A∘B=⎣⎡a11b11a21b21⋯am1bm1a12b12a22b22⋯am2bm2⋯⋯⋱⋯a1nb1na2nb2n⋮amnbmn⎦⎤

numpy中使用np.multiply或*实现元素积

举例

向量：a⃗=(1,2,3)b⃗=(4,5,6)\vec{a} = (1,2,3) \;\;\;\; \vec{b} = (4,5,6)a=(1,2,3)b=(4,5,6) a⃗∘b⃗=(4,10,18)\vec{a} \circ \vec{b} =(4 , 10 , 18)a∘b=(4,10,18)矩阵：A1=[1234]B1=[5678]，A2=[123123]B2=[123]A_1 = \begin{bmatrix}1 & 2 \\3 & 4\end{bmatrix}\;\;\;\; B_1 = \begin{bmatrix}5 & 6 \\7 & 8\end{bmatrix}， \;\;\;\; A_2 = \begin{bmatrix}1 & 2 & 3\\1 & 2 & 3\end{bmatrix}\;\;\;\; B_2 = \begin{bmatrix}1\\2\\3 \end{bmatrix} \;\;\;\;A1=[1324]B1=[5768]，A2=[112233]B2=⎣⎡123⎦⎤A1∘B1=[5122132]，A2∘B2=[149149]A_1 \circ B_1 = \begin{bmatrix}5 & 12 \\21 & 32\end{bmatrix}， \;\;\;\; A_2 \circ B_2 = \begin{bmatrix}1 & 4 & 9\\1 & 4 & 9\end{bmatrix}\;\;\;\;A1∘B1=[5211232]，A2∘B2=[114499]

import numpy as np
a = np.array([1,2,3])
b = np.array([4,5,6])
A1 = np.array([[1,2],[3,4]])
B1 = np.array([[5,6],[7,8]])
A2 = np.array([[1,2,3],[1,2,3]])
B2 = np.array([1,2,3])
## 数量积  使用np.multiply或*
print(np.multiply(a,b))
print(np.multiply(A1,B1))
print(np.multiply(A2,B2)) #阶数不一致的，numpy将进行广播确保一致

4. 克罗内克积

克罗内克积（Kronecker product）是两个任意大小的矩阵间的运算。

对于对于AAA矩阵（m×nm \times nm×n阶），BBB矩阵（p×qp \times qp×q阶）：A=[a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋯⋯⋱⋮am1am2⋯amn]B=[b11b12⋯b1qb21b22⋯b2q⋯⋯⋱⋮bp1bp2⋯bpq]A=\left[ \begin{matrix} {{a}_{11}} & {{a}_{12}} & \cdots & {{a}_{1n}} \\ {{a}_{21}} & {{a}_{22}} & \cdots & {{a}_{2n}} \\ \cdots & \cdots & \ddots & \vdots \\ {{a}_{m1}} & {{a}_{m2}} & \cdots & {{a}_{mn}} \\ \end{matrix} \right]~~~~~B=\left[ \begin{matrix} {{b}_{11}} & {{b}_{12}} & \cdots & {{b}_{1q}} \\ {{b}_{21}} & {{b}_{22}} & \cdots & {{b}_{2q}} \\ \cdots & \cdots & \ddots & \vdots \\ {{b}_{p1}} & {{b}_{p2}} & \cdots & {{b}_{pq}} \\ \end{matrix} \right]A=⎣⎡a11a21⋯am1a12a22⋯am2⋯⋯⋱⋯a1na2n⋮amn⎦⎤ B=⎣⎡b11b21⋯bp1b12b22⋯bp2⋯⋯⋱⋯b1qb2q⋮bpq⎦⎤两者的克罗内克积C=A⊗BC=A \otimes BC=A⊗B是mp×nqmp×nqmp×nq阶的分块矩阵:C=A⊗B=[a11Ba12B⋯a1nBa21Ba22B⋯a2nB⋯⋯⋱⋮am1Bam2B⋯amnB]C=A \otimes B = \left[ \begin{matrix} {{a}_{11}B} & {{a}_{12}B} & \cdots & {{a}_{1n}} B \\ {{a}_{21}} B& {{a}_{22}}B & \cdots & {{a}_{2n}} B \\ \cdots & \cdots & \ddots & \vdots \\ {{a}_{m1}} B& {{a}_{m2}} B& \cdots & {{a}_{mn}}B \\ \end{matrix} \right]C=A⊗B=⎣⎡a11Ba21B⋯am1Ba12Ba22B⋯am2B⋯⋯⋱⋯a1nBa2nB⋮amnB⎦⎤=[a11b11a11b12⋯a11b1q⋯⋯a1nb11a1nb12⋯a1nb1qa11b21a11b22⋯a11b2q⋯⋯a1nb21a1nb22⋯a1nb2q⋮⋮⋱⋮⋮⋮⋱⋮a11bp1a11bp2⋯a11bpq⋯⋯a1nbp1a1nbp2⋯a1nbpq⋮⋮⋮⋱⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋱⋮⋮⋮am1b11am1b12⋯am1b1q⋯⋯amnb11amnb12⋯amnb1qam1b21am1b22⋯am1b2q⋯⋯amnb21amnb22⋯amnb2q⋮⋮⋱⋮⋮⋮⋱⋮am1bp1am1bp2⋯am1bpq⋯⋯amnbp1amnbp2⋯amnbpq]=\left[ \begin{matrix} {{a}_{11}{b}_{11}} & {{a}_{11}{b}_{12}} & \cdots & {{a}_{11}} {b}_{1q} & \cdots & \cdots &{{a}_{1n}{b}_{11}} & {{a}_{1n}{b}_{12}} & \cdots & {{a}_{1n}} {b}_{1q} \\ {{a}_{11}{b}_{21}} & {{a}_{11}{b}_{22}} & \cdots & {{a}_{11}} {b}_{2q} & \cdots & \cdots &{{a}_{1n}{b}_{21}} & {{a}_{1n}{b}_{22}} & \cdots & {{a}_{1n}} {b}_{2q} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ {{a}_{11}{b}_{p1}} & {{a}_{11}{b}_{p2}} & \cdots & {{a}_{11}} {b}_{pq} & \cdots & \cdots &{{a}_{1n}{b}_{p1}} & {{a}_{1n}{b}_{p2}} & \cdots & {{a}_{1n}} {b}_{pq} \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \ddots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\ \vdots & \vdots & & \vdots & & \ddots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ {{a}_{m1}{b}_{11}} & {{a}_{m1}{b}_{12}} & \cdots & {{a}_{m1}} {b}_{1q} & \cdots & \cdots &{{a}_{mn}{b}_{11}} & {{a}_{mn}{b}_{12}} & \cdots & {{a}_{mn}} {b}_{1q} \\ {{a}_{m1}{b}_{21}} & {{a}_{m1}{b}_{22}} & \cdots & {{a}_{m1}} {b}_{2q} & \cdots & \cdots &{{a}_{mn}{b}_{21}} & {{a}_{mn}{b}_{22}} & \cdots & {{a}_{mn}} {b}_{2q} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ {{a}_{m1}{b}_{p1}} & {{a}_{m1}{b}_{p2}} & \cdots & {{a}_{m1}} {b}_{pq} & \cdots & \cdots &{{a}_{mn}{b}_{p1}} & {{a}_{mn}{b}_{p2}} & \cdots & {{a}_{mn}} {b}_{pq} \\ \end{matrix} \right]=⎣⎡a11b11a11b21⋮a11bp1⋮⋮am1b11am1b21⋮am1bp1a11b12a11b22⋮a11bp2⋮⋮am1b12am1b22⋮am1bp2⋯⋯⋱⋯⋯⋯⋱⋯a11b1qa11b2q⋮a11bpq⋮⋮am1b1qam1b2q⋮am1bpq⋯⋯⋯⋱⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋱⋯⋯⋯a1nb11a1nb21⋮a1nbp1⋮⋮amnb11amnb21⋮amnbp1a1nb12a1nb22⋮a1nbp2⋮⋮amnb12amnb22⋮amnbp2⋯⋯⋱⋯⋯⋯⋱⋯a1nb1qa1nb2q⋮a1nbpq⋮⋮amnb1qamnb2q⋮amnbpq⎦⎤

numpy中使用np.kron实现

举例A1=[123]B1=[456]A2=[1234]B2=[5678]A3=[123123]B3=[123]A_1 = \begin{bmatrix}1 \\ 2\\ 3 \end{bmatrix}\;B_1 = \begin{bmatrix}4\\5\\6 \end{bmatrix} \;A_2 = \begin{bmatrix}1 & 2 \\3 & 4\end{bmatrix}\;B_2 = \begin{bmatrix}5 & 6 \\7 & 8\end{bmatrix} \; A_3 = \begin{bmatrix}1 & 2 & 3\\1 & 2 & 3\end{bmatrix}\;B_3 = \begin{bmatrix}1\\2\\3 \end{bmatrix} A1=⎣⎡123⎦⎤B1=⎣⎡456⎦⎤A2=[1324]B2=[5768]A3=[112233]B3=⎣⎡123⎦⎤A1⊗B1=[45681012121518]TA_1 \otimes B_1={\begin{bmatrix}4 & 5 & 6 & 8 &10 & 12 & 12 & 15&18\end{bmatrix}}^TA1⊗B1=[45681012121518]TA2⊗B2=[5610127814161518202421242832]A_2 \otimes B_2 = \begin{bmatrix}5 &6&10&12 \\7 & 8&14&16\\15 & 18&20&24 \\21 &24&28&32\end{bmatrix}A2⊗B2=⎣⎡5715216818241014202812162432⎦⎤A3⊗B3=[123246369123246369]TA_3\otimes B_3 = { \begin{bmatrix}1 & 2&3 &2&4&6&3&6 & 9\\1 & 2&3 &2&4&6&3&6 & 9\end{bmatrix}}^TA3⊗B3=[112233224466336699]T

import numpy as np
A1 = np.array([1,2,3])
B1 = np.array([4,5,6])
A2 = np.array([[1,2],[3,4]])
B2 = np.array([[5,6],[7,8]])
A3 = np.array([[1,2,3],[1,2,3]])
B3 = np.array([1,2,3])
## 克罗内克积  使用np.kron
print(np.kron(A1,B1))
print(np.kron(A2,B2))
print(np.kron(A3,B3))

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一文带你搞懂什么是测试开发！
需要说明的是,原文发表于作者的公众号中,文章篇幅虽长,但内容朴实.且能帮助读者进一步理解测试开发工作,请读者耐心品完~ 01 开始前说点什么 1. 自我反省公众号开通了也有两年多了,除了刚开通的那段 ...
一文带你搞懂从动态代理实现到Spring AOP
摘要:本文主要讲了Spring Aop动态代理实现的两种方式. 1. Spring AOP Spring是一个轻型容器,Spring整个系列的最最核心的概念当属IoC.AOP.可见AOP是Spring ...
怎么用Python写出随时间变化的字_面试必备 | 带你彻底搞懂 Python 生成器
文章转载地址:面试必备 | 带你彻底搞懂 Python 生成器. 写在之前 Python 的高级语言特性一直是我们学习 Python 的一个难点,大部分人并没有做到熟练的掌握,甚至去学习它都感觉很困难 ...

带你一次搞懂点积（内积）、叉积（外积）