最短路算法

问题描述

在加权图上，两点之间的最小边权和路径称为最短路径。

常用算法

Dijkstra算法

Dijkstra算法本质上可以看做一种贪心算法，即每次由已定最短路点集找出最小拓展点，并把最小拓展点并入最短路点集。

对于Dijkstra的正确性的证明，我们先证明以下引理：

**引理：**对于一个连通的最短路点集，从点集中拓展出的不在最短路点集的最短点，一定是该点的最短点。

证明：用反证法（具体就不写了）

代码：

struct Node{int id,dist;
}
Node makeNode(int id,int dist){Node now;now.id=id;now.dist=dist;return now;
}
priority_queue<Node>q;
void Dijkstra(int s){memset(use,0,sizeof use);while(!q.empty()) q.pop();for(int i=1;i<=n;++i) dis[i]=IFF;q.push(makeNode(s,dis[s]=0));while(!q.empty()){Node now=q.top();q.pop();if(now.dist<dis[now.id]||use[now.id]) continue;use[now.id]=1;for(int i=head[now.id];i;i=edge[i].pre){int fr=now.id,to=edge[i].to;if(dis[to]<=dis[fr]+edge[i].w) continue;dis[to]=dis[fr]+edge[i].w;q.push(makeNode(to,dis[to]));}}
}

队列优化的贝尔福特曼 s p f a spfa spfa

代码如下

queue<int>q;
void spfa(int s){memset(use,0,sizeof use);while(!q.empty()) q.pop();for(int i=1;i<=n;++i)dis[i]=IFF;dis[s]=0;q.push(s);use[s]=1;while(!q.empty()){int now=q.front();q.pop();use[now]=0;for(int i=head[now];i;i=edge[i].pre){int to=edge[i].to;if(dis[to]<=dis[now]+edge[i].val) continue;dis[to]=dis[now]+edge[i].val;if(!use[to]){use[to]=1;q.push(to);}}}
}

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最短路的两种解法Dijkstra和spfa

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