【并行计算】Bitonic Sort（双调排序）基础

2024-06-03 21:05:50

双调序列

双调序列(Bitonic Sequence)是指由一个非严格增序列X和非严格减序列Y构成的序列，比如序列（23,10,8,3,5,7,11,78）。

定义:一个序列a1,a2,…,an是双调序列(Bitonic Sequence)，如果：
(1)存在一个ak(1≤k≤n), 使得a1≥…≥ak≤…≤an成立；或者
(2)序列能够循环移位满足条件(1)

Batcher定理

将任意一个长为2n的双调序列A分为等长的两半X和Y，将X中的元素与Y中的元素一一按原序比较，即a[i]与a[i+n] (i < n)比较，将较大者放入MAX序列，较小者放入MIN序列。则得到的MAX和MIN序列仍然是双调序列，并且MAX序列中的任意一个元素不小于MIN序列中的任意一个元素。

Bitonic merge（双调合并）

假设我们有一个双调序列，则我们根据Batcher定理，将该序列划分成2个双调序列，然后继续对每个双调序列递归划分，得到更短的双调序列，直到得到的子序列长度为1为止。这时的输出序列按单调递增顺序排列。

由于每次划分后问题长度都会减半，故所需要的划分次数为log n。

这个应用双调划分来对双调序列进行排序的过程称为Bitonic merge（双调合并）。

合并一个有16个元素的双调序列

双调合并网络

Bitonic Sort（双调排序）

对于两个元素x，y，如果x<=y，则x，y都位于双调序列的递增部分，而递减部分没有元素，如果x>=y，则x，y都位于双调序列的递减部分，而递增部分没有元素，于是x和y构成一个双调序列。因此，任何无序的序列都是由若干个只有2个元素的双调序列连接而成。

于是，对于一个无序序列，我们按照递增和递减顺序合并相邻的双调序列，按照双调序列的定义，通过连接递增和递减序列得到的序列是双调的。最终，我们可以将若干个只有2个元素的双调序列合并成1个有n个元素的双调序列。

将无序的输入序列转换成双调序列

如上图，最终再对得到的双调序列进行一次双调合并，即可得到有序序列。

这是今天学到的双调排序的一些基础知识。双调排序多用于并行计算，有空我再针对并行设计总结一下~

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