P4198 楼房重建（思维）

题目描述

小 A 的楼房外有一大片施工工地，工地上有 N 栋待建的楼房。每天，这片工地上的房子拆了又建、建了又拆。他经常无聊地看着窗外发呆，数自己能够看到多少栋房子。
为了简化问题，我们考虑这些事件发生在一个二维平面上。小 A 在平面上(0,0) 点的位置，第 i 栋楼房可以用一条连接 (i,0) 和 (i,Hi)的线段表示，其中 Hi为第 i 栋楼房的高度。如果这栋楼房上任何一个高度大于 0 的点与(0,0)的连线没有与之前的线段相交，那么这栋楼房就被认为是可见的。
施工队的建造总共进行了 M 天。初始时，所有楼房都还没有开始建造，它们的高度均为 0。在第 i 天，建筑队将会将横坐标为 Xi的房屋的高度变为 Yi（高度可以比原来大—修建，也可以比原来小—拆除，甚至可以保持不变—建筑队这天什么事也没做）。请你帮小 A 数数每天在建筑队完工之后，他能看到多少栋楼房？

输入格式

第一行两个正整数 N,M。
接下来 M 行，每行两个正整数 Xi,Yi 。

输出格式

M 行，第 i 行一个整数表示第 i 天过后小 A 能看到的楼房有多少栋。

输入输出

输入
3 4
2 4
3 6
1 1000000000
1 1
输出
1
1
1
2

说明/提示

对于100%的数据，1≤Xi≤N，1≤Yi≤10^9， 1≤N,M≤10^5。

题目分析

高的楼房会挡住后面低的楼房。但遮挡并不仅仅是简单的大于后面的就会遮挡，比如：2位置上高度为4的楼房可以挡住4位置上高度为8的楼房。仔细思考不难发现：遮挡是基于斜率的，即：后面的楼房如果不会被前面的楼房遮挡，那么后面这栋楼房的斜率一定大于前面所有楼房斜率。

要想快速的维护最大值，可以用线段树来维护。线段树中维护两个信息：每段的斜率最大值slo和从当前端的左边向右看能看到多少栋楼楼len。

最大值slo比较的好维护，每段只需要取左右子段的最大值即可。
我们主要来看一下len如何来维护：
首先我们需要一个函数getLen()来求出在前面有一个斜率为 l m lm lm的遮挡物下，这一段能够露出多少栋楼来（这个函数的写法具体可以看代码）。
有了这个函数后，就可以维护len了，本段的len=左子段的len+getLen(右子段 , 左子段的最大斜率)。

代码如下

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <string>
#include <cstring>
#include <map>
#include <queue>
#include <vector>
#include <set>
#include <algorithm>
#define LL long long
#define PII pair<int,int>
#define x first
#define y second
using namespace std;
const int N=1e5+5,INF=0x3f3f3f3f;
struct Node{int l,r;double slo;int len;
}tr[N*4];
double a[N];            //存某个位置楼房的斜率
int getLen(int u,double lm)     //在前面有一个斜率为lm的遮挡下，u段能够露出多少栋楼
{if(lm>=tr[u].slo) return 0;                //如果lm大于等于u段的斜率最大值，答案为0if(a[tr[u].l]>lm) return tr[u].len;        //如果u段左端点的斜率大于lm，那么答案就是u段的lenif(tr[u].l==tr[u].r) return 0;            //如果此段只有一个数，这个数还小于lm，答案是0int mid=tr[u].l+tr[u].r>>1;//如果lm大于等于左子段的slo，那么只需要递归求出右子段的答案即可（左子段答案为0）if(lm>=tr[u<<1].slo) return getLen(u<<1|1,lm);return getLen(u<<1,lm)+tr[u].len-tr[u<<1].len;//如果lm小于左子段的最大值，那么递归求出左子段的答案，因为左子段的slo大，因此右子段的答案不受影响
}
void pushup(int u)
{tr[u].slo=max(tr[u<<1].slo,tr[u<<1|1].slo);tr[u].len=tr[u<<1].len+getLen(u<<1|1,tr[u<<1].slo);
}
void build(int u,int l,int r)           //建树
{tr[u]={l,r};if(l==r) return;int mid=l+r>>1;build(u<<1,l,mid),build(u<<1|1,mid+1,r);
}
void modify(int u,int x,int c)          //单点修改，将x位置的高度改为c
{if(tr[u].l==tr[u].r){tr[u].slo=(double)c/x;         //斜率为c/xtr[u].len=1;}else {int mid=tr[u].l+tr[u].r>>1;if(mid>=x) modify(u<<1,x,c);else modify(u<<1|1,x,c);pushup(u); }
}
int main()
{int n,m;scanf("%d%d",&n,&m);build(1,1,n);while(m--){int x,y;scanf("%d%d",&x,&y);a[x]=(double)y/x;modify(1,x,y);printf("%d\n",tr[1].len);        //每次修改后的答案即为tr[1].len}return 0;
}

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