NamoCamp 每日一题体育节区间DP

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题目描述

学生会正在为体育节的接力赛做准备。学生会由 n个成员组成，他们将在比赛中一个一个地跑，第 i i i 个人的速度是 s i si si，第 i次接力会产生一个差异值 d i d_i di，它的值是前 i i i个参与接力赛的人的速度最大值与最小值的差，也就是说，我们假设第 i i i个参与比赛的人的速度是 a i a_i ai，那么 d i = max ⁡ ( a 1 , a 2 , . . . , a i ) − min ⁡ ( a 1 , a 2 , . . . , a i ) d_i =\max(a_1,a_2,...,a_i) - \min(a_1,a_2,...,a_i) di=max(a1,a2,...,ai)−min(a1,a2,...,ai)。现在你可以任意安排参加比赛的人的顺序，一个人只能参与一次，且每个人都必须参与，请你求出 d 1 + d 2 + . . . + d n d_1+d_2+...+d_n d1+d2+...+dn的最小值。

题解

首先考虑插入数字 a [ i ] a[i] a[i]的影响：

如果 a [ i ] a[i] a[i]是区间 max ⁡ \max max，那么新增 a [ i ] − m i n b e f o r e a[i] - min_{before} a[i]−minbefore
如果 a [ i ] a[i] a[i]是区间 min ⁡ \min min，那么新增 m a x b e f o r e − a [ i ] max_{before} - a[i] maxbefore−a[i]
如果都不是，那么新增 m a x b e f o r e − m i n b e f o r e max_{before} - min_{before} maxbefore−minbefore

那么显然，每插入一个区间最大值，新增极差的大小都会 u p up up，从贪心的角度考虑，我们应当尽可能晚的插入区间最大值。所以我们可以先对所有的 a i a_i ai排序。

设 d p [ l ] [ r ] dp[l][r] dp[l][r]表示区间 [ l , r ] [l,r] [l,r]的答案(和的最小值)。

考虑一段区间 [ l , r ] [l, r] [l,r]的状态：显然可以由( c o n ( x ) con(x) con(x)表示 x x x的贡献)：

c o n ( a [ l ] ) + d p [ l + 1 ] [ r ] con(a[l]) + dp[l + 1][r] con(a[l])+dp[l+1][r]
c o n ( a [ r ] ) + d p [ l ] [ r − 1 ] con(a[r]) + dp[l][r - 1] con(a[r])+dp[l][r−1]

两个状态转移而来。同时由于我们对整个序列进行过排序，那么可以得知：
c o n ( a [ l ] ) = c o n ( a [ r ] ) = ( a [ r ] − a [ l ] ) con(a[l]) = con(a[r]) = (a[r] - a[l]) con(a[l])=con(a[r])=(a[r]−a[l])

那么可以直接跑一个区间 d p dp dp，计算答案即可。

#include <bits/stdc++.h>
#define int long longconst int N = 2e3 + 10;
int a[N], dp[N][N];inline bool cmp(const int &a, const int &b){ return a < b; }inline void solve(){int n = 0; std::cin >> n;for(register int i = 1; i <= n; i++) std::cin >> a[i];std::sort(a + 1, a + 1 + n, cmp);for(int len = 2; len <= n; len++){for(int l = 1; l <= n; l++){int r = l + len - 1;if(r > n) continue;dp[l][r] = (a[r] - a[l]) + std::min(dp[l + 1][r], dp[l][r - 1]); }}std::cout << dp[1][n] << std::endl;
}signed main(){solve();return 0;
}