时间复杂度怎么算详解

我们假设计算机运行一行基础代码需要执行一次运算。

int aFunc(void) {printf("Hello, World!\n");      //  需要执行 1 次return 0;       // 需要执行 1 次
}

那么上面这个方法需要执行 2 次运算

int aFunc(int n) {for(int i = 0; i<n; i++) {         // 需要执行 (n + 1) 次printf("Hello, World!\n");      // 需要执行 n 次}return 0;       // 需要执行 1 次
}

这个方法需要 (n + 1 + n + 1) = 2n + 2 次运算。

我们把算法需要执行的运算次数用输入大小n 的函数表示，即 T(n) 。
此时为了估算算法需要的运行时间和简化算法分析，我们引入时间复杂度的概念。

定义：存在常数 c 和函数 f(N)，使得当 N >= c 时 T(N) <= f(N)，表示为 T(n) = O(f(n)) 。
如图：

当 N >= 2 的时候，f(n) = n^2 总是大于 T(n) = n + 2 的，于是我们说 f(n) 的增长速度是大于或者等于 T(n) 的，也说 f(n) 是 T(n) 的上界，可以表示为 T(n) = O(f(n))。

因为f(n) 的增长速度是大于或者等于 T(n) 的，即T(n) = O(f(n))，所以我们可以用 f(n) 的增长速度来度量 T(n) 的增长速度，所以我们说这个算法的时间复杂度是 O(f(n))。

算法的时间复杂度，用来度量算法的运行时间，记作: T(n) = O(f(n))。它表示随着输入大小n 的增大，算法执行需要的时间的增长速度可以用 f(n) 来描述。

显然如果 T(n) = n^2，那么 T(n) = O(n^2)，T(n) = O(n^3)，T(n) = O(n^4) 都是成立的，但是因为第一个 f(n) 的增长速度与 T(n) 是最接近的，所以第一个是最好的选择，所以我们说这个算法的复杂度是 O(n^2) 。
具体步骤
⑴ 找出算法中的基本语句；

算法中执行次数最多的那条语句就是基本语句，通常是最内层循环的循环体。

⑵ 计算基本语句的执行次数的数量级；

只需保留f(n)中的最高次幂正确即可，可以忽略所有低次幂和最高次幂的系数。

⑶ 用大Ο记号表示算法的时间性能。

将基本语句执行次数的数量级放入大Ο记号中。

举例

对于一个循环，假设循环体的时间复杂度为 O(n)，循环次数为 m，则这个循环的时间复杂度为 O(n×m)。

void aFunc(int n) {for(int i = 0; i < n; i++) {         // 循环次数为 nprintf("Hello, World!\n");      // 循环体时间复杂度为 O(1)}
}

此时时间复杂度为 O(n × 1)，即 O(n)。

2.对于多个循环，假设循环体的时间复杂度为 O(n)，各个循环的循环次数分别是a, b, c…，则这个循环的时间复杂度为O(n×a×b×c…)。分析的时候应该由里向外分析这些循环。

void aFunc(int n) {for(int i = 0; i < n; i++) {         // 循环次数为 nfor(int j = 0; j < n; j++) {       // 循环次数为 nprintf("Hello, World!\n");      // 循环体时间复杂度为 O(1)}}
}

此时时间复杂度为 O(n × n × 1)，即 O(n^2)。

对于顺序执行的语句或者算法，总的时间复杂度等于其中最大的时间复杂度。

void aFunc(int n) {// 第一部分时间复杂度为 O(n^2)for(int i = 0; i < n; i++) {for(int j = 0; j < n; j++) {printf("Hello, World!\n");}}// 第二部分时间复杂度为 O(n)for(int j = 0; j < n; j++) {printf("Hello, World!\n");}
}
此时时间复杂度为 max(O(n^2), O(n))，即 O(n^2)。

对于条件判断语句，总的时间复杂度等于其中时间复杂度最大的路径的时间复杂度。

void aFunc(int n) {if (n >= 0) {// 第一条路径时间复杂度为 O(n^2)for(int i = 0; i < n; i++) {for(int j = 0; j < n; j++) {printf("输入数据大于等于零\n");}}} else {// 第二条路径时间复杂度为 O(n)for(int j = 0; j < n; j++) {printf("输入数据小于零\n");}}
}

此时时间复杂度为 max(O(n^2), O(n))，即 O(n^2)。

时间复杂度分析的基本策略是：从内向外分析，从最深层开始分析。如果遇到函数调用，要深入函数进行分析。

练习
1.

void aFunc(int n) {for (int i = 0; i < n; i++) {for (int j = i; j < n; j++) {printf("Hello World\n");}}
}

当 i = 0 时，内循环执行 n 次运算，当 i = 1 时，内循环执行 n - 1 次运算……当 i = n - 1 时，内循环执行 1 次运算。
所以，执行次数 T(n) = n + (n - 1) + (n - 2)……+ 1 = n(n + 1) / 2 = n^2 / 2 + n / 2。
根据上文说的大O推导法可以知道，此时时间复杂度为 O(n^2)。

void aFunc(int n) {for (int i = 2; i < n; i++) {i *= 2;printf("%i\n", i);}
}

假设循环次数为 t，则循环条件满足 2^t < n。
可以得出，执行次数t = log(2)(n)，即 T(n) = log(2)(n)，可见时间复杂度为 O(log(2)(n))，即 O(log n)。

long aFunc(int n) {if (n <= 1) {return 1;} else {return aFunc(n - 1) + aFunc(n - 2);}
}

显然运行次数，T(0) = T(1) = 1，同时 T(n) = T(n - 1) + T(n - 2) + 1，这里的 1 是其中的加法算一次执行。
显然 T(n) = T(n - 1) + T(n - 2) 是一个斐波那契数列，通过归纳证明法可以证明，当 n >= 1 时 T(n) < (5/3)^n，同时当 n > 4 时 T(n) >= (3/2)^n。
所以该方法的时间复杂度可以表示为 O((5/3)^n)，简化后为 O(2^n)。

时间复杂度分析的基本策略是：从内向外分析，从最深层开始分析。如果遇到函数调用，要深入函数进行分析。

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