数学建模（1）——车速与道路通行能力

一、问题描述

提高道路通行能力是现代城市交通面临的重要课题。

道路通行能力衡量参数：

交通流：在单方向道路上行驶的一辆辆汽车组成的连续流体。用流量、速度、密度3个参数描述其基本特征。

流量q：某时刻单位时间内通过道路某断面的车辆数（单位辆/h）；

速度v：某时刻通过道路某断面的车辆速度（km/h）；

密度k：某时刻通过道路某断面单位长度内的车辆数（辆/km）。

3个参数之间的数学关系：

(1)

要提高道路通行能力，即增大q值，有两个途径：提高速度v，或者增加密度k。但是，现实存在这样的矛盾（问题点）：

车辆速度越快，刹车距离变大，车间距需要增大，车辆密度由此下降。
车辆密度越大，刹车距离变小，车辆速度需要降低。

所以，需要综合这些因素进行综合分析。

刹车距离：从司机决定刹车到车完全停止行驶的距离。

道路通行能力：在安全条件下，当具有标准长度和技术指标的车辆，以前后两车最小车头间隔连续行驶时，单位时间内通过道路某断面的最大车辆数（辆/h）。

二、问题分析

要解决的问题是找到最佳的车速，以达到最大的道路通行能力。问题求解的步骤

①求解刹车距离与车速之间的关系；

②求解道路通行能力与刹车距离之间的关系；

③求解道路通行能力与车速之间的关系。

三、符号说明

：车辆密度为0时的车速，即理论上的最高车速，称畅行车速；
：速度为0时的密度，称阻塞密度；
：最大车流量；
：最大车流密度；
：最大车流速度。
：刹车距离（m）；
：反应距离(m)；
：制动距离(m)；
F：刹车制动力(N)；
：反应时间(s)；
N：道路通行能力(辆/h)。
D：最小车头间隔（m）。

四、模型假设

假设1：经验表明，道路上车辆密度增加时，司机就会降低车速。速度和密度之间存在如下关系

假设2：刹车距离d为反应距离d1 与制动距离d2 之和。

假设3：反应距离d1 与车速v成正比，比例系数为反应时间。

五、模型建立

5.1车流量与速度的模型

将假设1代入到数学模型(1)中，得到流量与密度的关

同时，也可以得到流量与速度的关系

5.2刹车距离与速度的模型

制动力F做功为；车速从v到0，动能变化为，于是得到

其中，，a为减速度，反应了道路的减速状况，雨天路滑，道路减速效果差，值大。

根据刹车距离d为反应距离与制动距离之和，得到

5.3道路通行能力与速度的模型

道路通行能力

最小车头间隔D主要由刹车距离d决定：

：车身标准长度与两车间安全距离之和，取固定值。

于是，得到

可以看出，道路通行能力与汽车速度、司机反应时间、道路情况、车辆大小等因素大小有关。

六、模型求解
6.1求解系数c1、c2

利用机器学习中的一元线性回归方法，根据测试数据对模型作拟合；

或者，调查交通工程学的相关资料，得到司机反应时间c1 为0.7~1s，系数c2 约为（）

6.2 道路通行能力最大时对应的车速

根据正数的不等式性质，有

道路通行能力最大值为

对应速度为