拓展欧几里得小结(转载)
什么是拓展欧几里得?简单的说,就是求关于x,y的方程 ax + by = gcd(a,b) 的所有整数解
现在我们令g = gcd(a,b)
则方程变成了ax + by = g
假如我们现在知道了关于这个方程的一个特解x0, y0,我们就可以用一种方法求出所有的整数解。
说的比较模糊,现在整理一下。
上面提到了两个问题
一、怎么求出这个特解?
二、怎么由特解推出其它的所有解?
一、求特解
我们知道,欧几里得公式可以由这个式子表示:
gcd(a,b) = gcd(b, a%b)
不断往下连等,直到b = 0,此时a即为最大公约数
那么我们来讨论另一个问题,下面两个式子有没有关系呢?
a * x1 + b * y1 = g(a,b)
b * x2 + (a%b) * y2 = g(b,a%b)
如果看这篇博客的你还没接触过拓展欧几里得,那么可能你还不知道现在在干什么。
那么,我可以告诉你,只要找出x1和x2的关系、y1和y2的关系,我们就能求出方程a * x + b * y = g的一个特解
回到刚才那个问题,很显然,两个等式右边就是欧几里得的公式
那么我们就能得出
a * x1 + b * y1 = b * x2 + (a%b) * y2
其中a%b可以换成a-(a/b)*b
式子变成了
a * x1 + b * y1 = b * x2 + (a - (a / b) * b) * y2
因为我们要找x1 y1和x2 y2的关系
我们可以用待定系数法,按照这种方法把右边化成b * (x2 - (a / b) * y2) + a * y2
则等式变成了
a * x1 + b * y1 = a * y2 + b * (x2 - (a / b) * y2)
(上面的过程最好动手演算)
好,我们现在得出了下面两个等式:
x1 = y2(等式两边a的系数相同)
y1 = x2 - (a / b) * y2 (等式两边b的系数相同)
也就是说,我们知道了方程b * x2 + (a%b) * y2 = g(b,a%b) 的解x2, y2,就可以得到方程a * x1 + b * y1 = g(a,b) 的解x1,y1了,这个小问题告一段落。
对于方程a * x + b * y = gcd(a,b),我们可以不断的往下变成b * x + (a % b) y = gcd(a,b) ,按照欧几里得的过程,b会变成0,即此时方程a * x + b * y = gcd(a,b) 因为b = 0,变成了a * x = gcd(a,b) ,还是由欧几里得算法得到,此时a就等于gcd(a,b),所以得到由原方程往下推了不知道多少次的方程 a * x = gcd(a,b) 来说,得到一个解x = 1, y = 0。现在得到了这个方程的解,再回溯回去,就可以得出原方程 a * x + b * y = gcd(a,b) 的一个特解。
OK,这个问题解决了。
二、怎么利用特解推出其他所有整数解?
先说结论:
对于关于x,y的方程a * x + b * y = g 来说,让x增加b/g,让y减少a/g,等式两边还相等。(注意一个增加一个减少)
为什么呢?
这个很容易得到,我们算一下即可。
让x增加b/g,对于a * x这一项来说,增加了a * b / g,可以看出这是a,b的最小公倍数
同样,对于b * y这一项来说,y 减少 a/b,这一项增加了a * b / g,同样是a,b的最小公倍数。
可以看出,这两项一项增加了一个最小公倍数,一项减少了一个最小公倍数,加起来的和仍然等于g。
这样我们就明白了,其实这种操作就是增加一个最小公倍数,减少一个最小公倍数,这样来改变x,y的值,来求出所有x,y的通解的。
那为什么改变的是最小公倍数而不是更小的数呢?因为是 最小 公倍数呀…不会再找到更小的值了,这个自行体会吧…
到这里为止,开头提出的两个问题都已经解决。
也就是说,对于方程a * x + b * y = gcd(a,b),我们能找出所有符合条件的解了。而且,还可以告诉你,这个方程是一定有无数个解的。
那么来一个更一般的问题,对于方程a * x + b * y = c 来说,它的解怎么求呢?
答:如果c % gcd(a,b) != 0,即c不是gcd的整数倍,则无解。
如果c % gcd(a,b) == 0 且 c / gcd(a,b) = t,那么求出方程 a * x + b * y = gcd(a,b)的所有解x,y,将x,y乘上t,对应的x’,y’即是方程a * x + b * y = t * gcd(a,b)的解
很好理解,就不解释了,仔细看上面的这段话就能理解
附上拓展欧几里得的代码
void e_gcd(int a, int b, int &gcd, int &x, int &y)
{if (b == 0){x = 1;y = 0;gcd = a;}else{e_gcd(b, a % b, gcd, y, x);y -= x * (a / b)}
}
拓展欧几里得小结(转载)相关推荐
- 拓展欧几里得小结(初级理解)
什么是拓展欧几里得?简单的说,就是求关于x,y的方程 ax + by = gcd(a,b) 的所有整数解 现在我们令g = gcd(a,b)则方程变成了ax + by = g 假如我们现在知道了关于这 ...
- 欧几里得定理 及 拓展欧几里得 小结
[欧几里得定理] 定义: gcd ( a , b ) = gcd ( b , a m o d b ) \gcd(a,b)=\gcd(b,a\mod b) gcd(a,b)=gcd(b,a ...
- 拓展欧几里得 [Noi2002]Savage
对于一个野人,他(她?)所在的位置,(C[i]+x*p[i])%ans,是的,暴力枚举每一个ans,用拓展欧几里得求出每两个wildpeople(wildrage?)相遇的年份,如果小于最小的寿限(就 ...
- Justoj Fabulous Race Between Tortoise And Rabbit 拓展欧几里得 技巧
Fabulous Race Between Tortoise And Rabbit 时间限制: 1 s 内存限制: 128 MB 提交 我的状态 题目描述 经历了上次的惨败,兔子一直心怀不满 ...
- poj1061-青蛙的约会(拓展欧几里得java)
题目: 两只青蛙在网上相识了,它们聊得很开心,于是觉得很有必要见一面.它们很高兴地发现它们住在同一条纬度线上,于是它们约定各自朝西跳,直到碰面为止.可是它们出发之前忘记了一件很重要的事情,既没有问清楚 ...
- 拓展欧几里得模板/求逆元模板(java)
拓展欧几里得模板 参考:哈尔滨理工大学ACM培训资料汇编/ACM-ICPC培训资料汇编* 基本原理 :设 a 和 b 不全为 0,则存在整数 x,y 使得 xa yb=gcd(a,b)=c 对于辗转相 ...
- 杭电2669拓展欧几里得
杭电2669 给a,b求Xa Yb = 1.如果没有则输出sorry. 可以通过拓展欧几里得指导Xa Yb = gcd(a,b). 不言而喻要判断gcd(a,b)是否等于1.如果不等于1,那么就是so ...
- A/B HDU - 1576 (逆元或拓展欧几里得或数学公式)多解法求大数结果
题意:求(A/B)%9973,但由于A很大,我们只给出n(n=A%9973)(我们给定的A必能被B整除,且gcd(B,9973) = 1). 思维:(1)逆元+扩展欧几里得算法:满足a*k≡1 (mo ...
- AcWing 878. 线性同余方程(拓展欧几里得)
题目链接 https://www.acwing.com/problem/content/880/ 思路 ai×xi≡bi(modmi)a_i\times x_i≡b_i(mod \ m_i)ai×x ...
最新文章
- mysql 报错10614_golang使用go-sql-driver实现mysql增删改操作-Go语言中文社区
- 转:深入理解Java G1垃圾收集器
- Impress.js教程
- QString string char*互转
- 15.RDD 创建内幕解析
- 计时器小程序——由浅入深实例讲解
- linux 中配置假域名来测试
- 软件测试技术qtp,51Testing独家连载:(四十一)精通QTP——自动化测试技术领航
- leetcode —— 48. 旋转图像
- linux双系统uefi引导修复,Windows和Ubuntu双系统,修复UEFI引导的两种办法
- java反射创建实例_Java反射创建实例
- 面试硬核干货:纯CSS实现垂直居中,快来收藏吧
- CentOS 6.7安装gcc4.8.2
- 米思齐(Mixly)图形化系列教程(四)-运算符
- 项目保密协议书(范本)
- 计算机9针485接口,串口RS232__485的9针引脚定义
- 2013我爱逻辑题(2)
- 机械键盘恢复出厂fn_机械键盘使用说明
- 【第1章】凸集——几种重要的凸集
- 著作权范围大于版权?如何进行著作权查询?