求与下面谓词公式等值的前束范式_数理逻辑（4）——谓词逻辑的等值、范式和推理演算...

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前置知识：谓词逻辑的基本概念。tetradecane：数理逻辑(3)——谓词逻辑的基本概念zhuanlan.zhihu.com

1. 谓词公式的等值与重言蕴含

与命题逻辑中的定义完全一致。

若谓词公式

和

在任一解释下真值相同，称

和

等值/等价，记作

或

定理：

当且仅当

是普遍有效的。

给定两个谓词公式

和

，在任何解释下，若

为真则

为真，就称

重言蕴含

，记作

定理：

当且仅当

是普遍有效的，当且仅当

是不可满足的。

2. 谓词公式的等值式

2.1 由命题逻辑转移

在命题逻辑的等值式中，以谓词公式代入命题变项，便可得谓词逻辑的等值式。例如：

可得

2.2 量词的否定与转化

2.3 量词分配等值式

上面四式中

不含变元

约束变元易名后有

上面两式中

是量词

或

3. 谓词公式的范式

命题逻辑公式有与之等值的范式。谓词逻辑公式也有范式，但不是所有范式都与原公式等值。

3.1 前束范式

定义：如果公式

中的所有量词都非否定地置于公式左端，且其辖域都延伸到公式末端，则称

是前束范式。形如

其中

是量词

或

，公式

不含量词，称为

的母式/基式。

前束范式定理：任一公式都有与之等值的前束范式。

求前束范式的方法：

①消去

和

②否定词深入(应用反演律)。

③约束变元易名(如果有必要的话)。

④量词左移(应用分配等值式)。

例如：

3.2 Skolem范式

定义：如果公式

是前束范式，且消去所有的存在量词，则称

是Skolem范式。形如

定理：任一公式

都可化为Skolem范式

，并且

可满足当且仅当

可满足。

说明：一般的公式并不与其Skolem范式等值，只是“等可满足”。

求Skolem范式的方法：

①求前束范式。

②消去

(引入个体常项或函数)。

例如：

化为

(引入个体常项

代入

)

化为

(引入的个体与

有关，所以用函数

)

4. 谓词逻辑的推理式

举例：

5. 谓词逻辑的归结推理法

归结推理法可以推广到谓词逻辑。

为了证明

，等价地证明

不可满足，过程：

①将

化为前束范式，再化成仅含

的Skolem范式

，这里

不可满足当且仅当

不可满足。

②将

中的

省略，求

母式的合取范式，将合取范式中的

换为逗号，得到字句集

. (注意，

中的变元均受

约束。)

③对

进行一步归结：若

中有两个字句

，且对

与

有代入

，使得两者相等，即

(称为合一)，则可以进行归结，得到归结式

放入

中。

④重复③，直至得到矛盾式。

举例，证明：

化

为前束范式

化上式为Skolem范式

得到子句集

与

有代入

可以合一，归结到空字句，矛盾，证毕。

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