写在前面

推导一下Catalan数的表示式，主要用到生成函数的方法，主要难点是幂级数的计算。

求解

Catalan数的递推关系满足：
cn=∑j=0n−1cjcn−1−j,(n≥1,c0=c1=1)c_n=\sum_{j=0}^{n-1}c_{j}c_{n-1-j},\qquad (n\geq1,c_0=c_1=1) cn=j=0∑n−1cjcn−1−j,(n≥1,c0=c1=1)
记
C(x)=∑n≥0cnxn,C(x)=\sum_{n\geq0}c_nx^n, C(x)=n≥0∑cnxn,
于是有：
∑n≥1cnxn=C(x)−1=∑n≥1∑j=0n−1cjcn−1−jxn=x∑n≥1∑j=0n−1cjcn−1−jxn−1=x∑n≥0∑j=0ncjcn−jxn=x∑j≥0cjxj∑n≥jcn−jxn−j=xC(x)⋅C(x)\begin{aligned} \sum_{n\geq1}c_nx^n &=C(x)-1\\ &=\sum_{n\geq1}\sum_{j=0}^{n-1}c_jc_{n-1-j}x^n\\ &=x\sum_{n\geq1}\sum_{j=0}^{n-1}c_jc_{n-1-j}x^{n-1}\\ &=x\sum_{n\geq0}\sum_{j=0}^{n}c_jc_{n-j}x^{n}\\ &=x\sum_{j\geq0}c_jx^j\sum_{n\geq j}c_{n-j}x^{n-j}\\ &=xC(x)\cdot C(x) \end{aligned} n≥1∑cnxn=C(x)−1=n≥1∑j=0∑n−1cjcn−1−jxn=xn≥1∑j=0∑n−1cjcn−1−jxn−1=xn≥0∑j=0∑ncjcn−jxn=xj≥0∑cjxjn≥j∑cn−jxn−j=xC(x)⋅C(x)
即：
xC2(x)−C(x)+1=0,xC^2(x)-C(x)+1=0, xC2(x)−C(x)+1=0,
立即解得：
C(x)=12x(1±1−4x),C(x)=\frac1{2x}(1\pm\sqrt{1-4x}), C(x)=2x1(1±1−4x),
由幂级数收敛条件可知
C(x)=12x(1−1−4x),C(x)=\frac1{2x}(1-\sqrt{1-4x}), C(x)=2x1(1−1−4x),
展开上式：
C(x)=12x[1−∑n≥0(12n)(−4)nxn]=12x[1−1−∑n≥1(12n)(−4)nxn]=12x[−∑n≥1(12n)(−4)nxn]=−12∑n≥1(12n)(−4)nxn−1=−12∑n≥0(12n+1)(−4)n+1xn\begin{aligned} C(x) &=\frac1{2x}\left[1-\sum_{n\geq0}\binom{\frac12}{n}(-4)^nx^n\right]\\ &=\frac1{2x}\left[1-1-\sum_{n\geq1}\binom{\frac12}{n}(-4)^nx^n\right]\\ &=\frac1{2x}\left[-\sum_{n\geq1}\binom{\frac12}{n}(-4)^nx^n\right]\\ &=-\frac12\sum_{n\geq1}\binom{\frac12}{n}(-4)^nx^{n-1}\\ &=-\frac12\sum_{n\geq0}\binom{\frac12}{n+1}(-4)^{n+1}x^{n}\\ \end{aligned} C(x)=2x1[1−n≥0∑(n21)(−4)nxn]=2x1[1−1−n≥1∑(n21)(−4)nxn]=2x1[−n≥1∑(n21)(−4)nxn]=−21n≥1∑(n21)(−4)nxn−1=−21n≥0∑(n+121)(−4)n+1xn
于是有：
cn=−12(12n+1)(−4)n+1c_n=-\frac12\binom{\frac12}{n+1}(-4)^{n+1} cn=−21(n+121)(−4)n+1
下面利用牛顿二项式定理化简上面的结果：
cn=−12(12n+1)(−4)n+1=(−1)n+222n+112(12−1)(12−2)⋯(12−n−1+1)(n+1)!=(−1)n+2−n22n+1−n−1(2n−1)!!(n+1)!=2n(2n−1)!!(2n)!!(n+1)!(n!2n)=1n+1(2nn)\begin{aligned} c_n &=-\frac12\binom{\frac12}{n+1}(-4)^{n+1}\\[10pt] &=(-1)^{n+2}2^{2n+1}\frac{\frac12\left(\frac12-1\right)\left(\frac12-2\right)\cdots\left(\frac12-n-1+1\right)}{(n+1)!}\\ &=(-1)^{n+2-n}2^{2n+1-n-1}\frac{(2n-1)!!}{(n+1)!}\\ &=\frac{2^n(2n-1)!!(2n)!!}{(n+1)!(n!\,2^n)}\\ &=\frac1{n+1}\binom{2n}{n} \end{aligned} cn=−21(n+121)(−4)n+1=(−1)n+222n+1(n+1)!21(21−1)(21−2)⋯(21−n−1+1)=(−1)n+2−n22n+1−n−1(n+1)!(2n−1)!!=(n+1)!(n!2n)2n(2n−1)!!(2n)!!=n+11(n2n)

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