采样低频信号

采样高频信号

采样低频信号

关于混叠的讨论，我将在1D中讨论这个，因为这样画出来更容易，也更清楚。等一下，我们要做的是，我们现在要讨论傅里叶空间里的混叠（aliasing），我们要讨论采样信号。我们先讲采样低频信号，然后是采样高频信号。

这里有一个函数，这里有一个很好的函数 f（左图），这是一个很好的平滑函数，它的傅里叶谱是这样的F (u)（右图），

你会注意到它是有限的，它没有很高的频率分量，没有很高的频率分量，非常非常低。

这是梳状函数脉冲序列。正如我们之前所说，脉冲序列的傅里叶变换是另一个脉冲序列。

如果空间中脉冲序列的间隔是M，那么频率是1 / M。现在的问题不是那么明显。

假设我要取一个连续函数的样本，right，我要在这里取一个样本，这里一个样本，这里一个样本，这里一个样本，这里一个样本，这里一个样本，等等（如图），我想以M为间距来做。我怎么做呢?

我实际上有我需要的，我只是乘以这个时间，我得到了这个（如图）。okay？

也就是说，这里只是一组样本，乘以F（如图）。okay？所以采样就是将连续信号乘以这个离散梳状。这就是为什么我们必须引入函数乘法的概念，以及梳子的概念，采样是用梳子倍增你的信号。

现在，当我在空间中相乘时，频率是多少? 我卷积。记住，空间中的卷积是乘以频率，空间中的乘法是乘以频率。我要做的是，我要把 f 的傅里叶变换与梳子的傅里叶变换进行卷积，我只是在这里展示它的幂，我得到了它。Okay，这就是卷积，你会看到，如果我取这个函数，沿着它滑动，我将在这里重建它，在这里重建它，在这里重建它（如图1），这就是它所展示的（如图2）。okay。这就是梳状函数乘法的傅立叶变换。

复制下面这一行。如果这个函数是有限的（如图1），实际上，我可以像这样在下面展示（如图2），如果我可以把信号的这一部分拿出来（如图3），这个信号的频率在一定范围内。这样我就能得到我想要的，right。我就能得到原始的频谱，这就能得到原始的函数（如图4）。

如果外边缘足够小（如图1），这就没问题了，也就是说，我的信号的最大频率对于我使用的梳状滤波器来说足够小（如图2）。

到底有多小? 这里是这样写的，okay? 如果我的梳状滤波器间隔是M（如图1），那么我的傅里叶的梳子，也就是梳子的傅里叶的梳子是1除以M（如图2），这段距离的一半是1 / 2M（如图3）。Okay。

如果该函数的最大频率，比如说，对于带宽，是W，如果小于1/2M（如图1），那么我可以通过只看这个部分来重建原始信号，也就是说，没有东西污染了那个内部部分（如图2）。如果没有重叠，如果W小于1 / 2M，原始信号可以通过低通滤波从样本中恢复，我们一会儿会讲到。

你们中那些知道Nyquist（尼奎斯特）采样的人，你们知道如果我想恢复，比如说，20千赫兹，对，20千赫兹，大约是人类听力的范围，我需要采样至少40千赫兹。顺便说一下，CDs，就像我们以前说的，采样频率是44000赫兹，为什么? 这样我们就可以恢复到22千赫兹，也就是人类听觉的范围。

采样高频信号

所以，只要我的频率足够低，我就可以了。但如果它们不够低，会发生什么呢？现在，假设我有更高频率的东西，所以这是一些随机函数（如图1），它有一些高频率。这是它的 f (u) 可以看到它的 w 向外延伸了一点（如图2）。

如果现在，我把它乘以M的同一个梳子，我要把这个东西和我以前用过的1/M的梳子卷积起来（如图1），我要把这个部分放在这里（如图2），

现在记住，这些东西实际上是和的。我画的是每个单独的分量，但实际上，这个东西会求和，然后回到这里，okay？所以，这些东西会相加，然后回到这里（如图）。

和这个区域，本质上，这个能量已经向后折叠，重叠，然后它们会相加（如图1），okay？那个高频率真的是这个小小的边缘，okay？或者，就是存在的东西，假装它是低频的（如图2），这就是混叠（aliasing），一旦你对信号产生混淆，一旦你完成了这个操作，你就无法撤消它（如图3）。

高频已经假装它们是低频，你不能把它们从真正的低频分离出来。在进行采样之前，必须去除高频，以便消除混叠。那么，你怎么做呢？ Okay. 那么，你如何消除高频？我们知道怎么做：

我们与h卷积，可能是另一个高斯函数。那有什么用呢? 这就降低了高频（如图1）。因此，f 和 h 卷积的频谱，其高频度要小得多。因此，h 就是所谓的抗混叠滤波器（anti-aliasing filter）（如图2），它具有修剪原始信号高频的净效果。那么，当我用梳子进行乘法时，如右图所示，我现在正在使用频域中的梳状滤波器进行卷积（如图3）。

但是，我没有那么重叠，right？所以没有混淆，right？（如图）然后恢复信号，不管我用新的采样卷积函数重建后得到的是什么，我都可以抛弃任何高频，因为那些不是真的。就像我们处理CD一样，right？我们低通滤波了麦克风，做了A到D转换以获得一些数字样本。我们做了D到A转换以获得模拟。而且我们知道出现的任何高频，都不是真的。 okay，我们可以使用低通的方式并恢复原始信号。

所以，这里总结了混叠（aliasing）。当我没有抗混叠滤波器时，我会得到这些重叠区域（如图1），这些重叠区域导致出现混叠，我一旦完成了这些重叠区域就无法去除这些混叠。但是，使用抗混叠滤波器（如图2），我没有得到重叠，所以，那是混叠背后的数学。

——学会编写自己的代码，才能练出真功夫。

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