金融时间序列及其特征

rrr 为随机变量：
μ=E[r]σ2=var(r)=E[(r−μ)2]偏度：skew(r)=E[(r−μ)3σ3]对称性峰度：kurt(r)=E[(r−μ)4σ4]厚尾性\mu=E[r]\\\sigma^2=var(r)=E[(r-\mu)^2]\\偏度：skew(r)=E[\frac{(r-\mu)^3}{\sigma^3}]\ \ \ \ 对称性\\峰度：kurt(r)=E[\frac{(r-\mu)^4}{\sigma^4}]\ \ \ \ 厚尾性 μ=E[r]σ2=var(r)=E[(r−μ)2]偏度：skew(r)=E[σ3(r−μ)3] 对称性峰度：kurt(r)=E[σ4(r−μ)4] 厚尾性

rrr 的 lll 阶中心矩定义为
ml=E[(r−μ)l]m_l=E[(r-\mu)^l] ml=E[(r−μ)l]
kurt(r)−3kurt(r)-3kurt(r)−3 叫作超额峰度（excess kurtosis）。若一个分布有正的超额峰度，则称此分布具有厚尾性，尖峰。一个具有负的超额峰度的分布是轻尾的，低峰。

正态分布

X∼N(μ,σ2),f(x)=12πσ2exp⁡(−(x−μ)22σ2),−∞<x<∞E[X]=μvar(X)=σ2skew(X)=0kurt(X)=3X\sim N(\mu,\sigma^2),f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\exp(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}),-\infin<x<\infin\\E[X]=\mu\\var(X)=\sigma^2\\skew(X)=0\\kurt(X)=3 X∼N(μ,σ2),f(x)=2πσ21exp(−2σ2(x−μ)2),−∞<x<∞E[X]=μvar(X)=σ2skew(X)=0kurt(X)=3

正态随机变量的超额峰度为3-3=0。

t分布

Z∼N(0,1),W∼χ2(v)Z\sim N(0,1),W\sim\chi^2(v)Z∼N(0,1),W∼χ2(v)，Z和W独立。
X=ZW/v∼tv,f(x)=Γ(v+12)vπΓ(v2)(1+x2v)−v+12,−∞<x<∞X=\frac{Z}{\sqrt{W/v}}\sim t_v,f(x)=\frac{\Gamma(\frac{v+1}{2})}{\sqrt{v\pi}\Gamma(\frac{v}{2})}(1+\frac{x^2}{v})^{-\frac{v+1}{2}},-\infin<x<\infin X=W/vZ∼tv,f(x)=vπΓ(2v)Γ(2v+1)(1+vx2)−2v+1,−∞<x<∞
tvt_vtv 是以 vvv 为自由度的 ttt 分布。
E[X]=0,var(X)=vv−2,v>2skew(X)=0,kurt(X)−3=6v−4,v>4E[X]=0,var(X)=\frac{v}{v-2},v>2\\skew(X)=0,kurt(X)-3=\frac{6}{v-4},v>4 E[X]=0,var(X)=v−2v,v>2skew(X)=0,kurt(X)−3=v−46,v>4
如果 X∼tvX\sim t_vX∼tv，则

Y=μ+σXv/(v−2)E[Y]=μ,var(Y)=σ2Y=\mu+\frac{\sigma X}{\sqrt{v/(v-2)}}\\E[Y]=\mu,var(Y)=\sigma^2 Y=μ+v/(v−2)σXE[Y]=μ,var(Y)=σ2
Y=Xv/(v−2)E(Y)=E(Xv/(v−2))=E(X)v/(v−2)=0var(Y)=var(Xv/(v−2))=var(X)v/(v−2)=1Y=\frac{X}{\sqrt{v/(v-2)}}\\E(Y)=E(\frac{X}{\sqrt{v/(v-2)}})=\frac{E(X)}{\sqrt{v/(v-2)}}=0\\var(Y)=var(\frac{X}{\sqrt{v/(v-2)}})=\frac{var(X)}{v/(v-2)}=1 Y=v/(v−2)XE(Y)=E(v/(v−2)X)=v/(v−2)E(X)=0var(Y)=var(v/(v−2)X)=v/(v−2)var(X)=1

样本矩

设 {r1,⋯,rT}\{r_1,\cdots,r_T\}{r1,⋯,rT} 是 rrr 的 TTT 个观测值，则：
μ^=1T∑t=1Trtσ^2=1T−1∑t=1T(rt−μ^)2=m^2skew^=1(T−1)σ^3∑t=1T(rt−μ^)3=m^3σ^3kurt^=1(T−1)σ^4∑t=1T(rt−μ^)4=m^4σ^4m^k=1T−1∑t=1T(rt−μ^)k\hat{\mu}=\frac{1}{T}\sum_{t=1}^Tr_t\\\hat{\sigma}^2=\frac{1}{T-1}\sum_{t=1}^T(r_t-\hat{\mu})^2=\hat{m}_2\\\hat{skew}=\frac{1}{(T-1)\hat{\sigma}^3}\sum_{t=1}^T(r_t-\hat{\mu})^3=\frac{\hat{m}_3}{\hat{\sigma}^3}\\\hat{kurt}=\frac{1}{(T-1)\hat{\sigma}^4}\sum_{t=1}^T(r_t-\hat{\mu})^4=\frac{\hat{m}_4}{\hat{\sigma}^4}\\\hat{m}_k=\frac{1}{T-1}\sum_{t=1}^T(r_t-\hat{\mu})^k μ^=T1t=1∑Trtσ^2=T−11t=1∑T(rt−μ^)2=m^2skew^=(T−1)σ^31t=1∑T(rt−μ^)3=σ^3m^3kurt^=(T−1)σ^41t=1∑T(rt−μ^)4=σ^4m^4m^k=T−11t=1∑T(rt−μ^)k

资产收益率的样式化统计属性

市场指数和个股的日收益率具有很高的超额峰度，而对月收益率序列，市场指数的月收益率的超额峰度比个股的月收益率的超额峰度高出许多。
日收益率的均值接近于零，而月收益率的均值要稍大一些。
月收益率比日收益率有更大的标准差。
在日收益率中，市场指数的标准差比个股的标准差少。
偏度不是一个严重问题，对日收益率和月收益率都是如此。
描述性统计量表明简单收益率和对数收益率的差别很小。
损益不对称：观察到股票价格和股票指数价值大幅下降，但涨幅不大。、
随着计算收益率的时间尺度的增加，其分布越来越逼近正态分布。在不同的时间尺度上，分布的形状是不一样的。
波动性聚类：不同的波动性度量值在几天内显示出正自相关性。
成交量/波动性相关性：交易量与所有波动性度量都相关。
条件厚尾性：即使在修正了波动性聚类的收益之后（比如通过GARCH模型），剩余的时间序列仍然表现出厚尾性。
绝对收益率的自相关性缓慢衰减：绝对收益率的自相关函数作为时间滞后的函数缓慢衰减。
杠杆效应：资产波动率与该资产的收益呈负相关。
波动性共同运动：解释多个系列波动的共同因素的证据。

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金融计量模型（六）：金融时间序列及其特征

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金融时间序列及其特征

正态分布

t分布

样本矩

资产收益率的样式化统计属性

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