本节中, 设 $f,g,f_i$ 是可测集 $E$ 上的非负可测函数, $A,B$ 是 $E$ 的可测子集.    
   
1 定义:

(1) $f$ 在 $E$ 上的 Lebesgue 积分        $$\bex        \int_E f(x)\rd x        =\sup\sed{\int_E\phi(x)\rd x; 0\leq \phi\leq f}.        \eex$$

(2) $f$ 在 $E$ 上 Lebesgue 可积 $\dps{\lra \int_Ef(x)\rd x<+\infty}$.

(3) $f$ 在 $A$ 上的 Lebesgue 积分为    $$\bex    \int_A f(x)\rd x    =\int_E f(x)\chi_A(x)\rd x.    \eex$$

2 性质                
    (1) $\dps{mE=0\ra \int_Ef(x)\rd x=0}$.    
    (2) $\dps{\int_Ef(x)\rd x=0\ra f(x)=0,\ae}$ 于 $E$.    
    证明: 由    $$\bex    E[f>0]=\cup_{k=1}^\infty E\sez{f\geq\frac{1}{k}}    \eex$$

知仅须证明 $\dps{mE\sez{f\geq \frac{1}{k}}=0}$:    $$\beex    \bea    0&=\int_E f(x)\rd x        \geq \int_E \phi_k(x)\rd x\quad\sex{E_k=E\sez{f\geq \frac{1}{k}}, \phi_k(x)=\sedd{\ba{ll}        \frac{1}{k},&x\in E_k\\        0,&x\not\in E_k        \ea}}\\        &=\frac{1}{k}\cdot mE_k.    \eea    \eeex$$

(3) $\dps{\int_Ef(x)\rd x<+\infty\ra 0\leq f(x)<+\infty,\ae}$ 于 $E$.

证明: 仅须证明 $E_\infty=E[f=+\infty]$ 为零测度集:    $$\beex    \bea    \int_Ef(x)&\geq \int_E \phi_k(x)\rd x       \quad\sex{\phi_k(x)=\sedd{\ba{ll}    k,&x\in E_\infty\\    0,&x\not\in E_\infty    \ea}}\\    &=k\cdot mE_\infty.    \eea    \eeex$$

(4) $\dps{A\cap B=\vno\ra \int_{A\cup B}f(x)\rd x=\int_A f(x)\rd x+\int_Bf(x)\rd x}$.

证明: 对 $A\cup B$ 上的简单函数 $0\leq \phi\leq f$, 有    $$\bex    \int_{A\cup B}\phi(x)\rd x    =\int_A\phi(x)\rd x    +\int_B\phi(x)\rd x    \leq \int_Af(x)\rd x    +\int_Bf(x)\rd x;    \eex$$    $$\bex    \int_A\phi(x)\rd x    +\int_B\phi(x)\rd x    =\int_{A\cup B}\phi(x)\rd x    \leq\int_{A\cup B}f(x)\rd x.    \eex$$

(5) $\dps{f\leq g\ae\ra \int_E f(x)\rd x    \leq\int_E g(x)\rd x}$.

证明: 设 $E_1=E[f\leq g], E_2=E[f>g]$, 则 $mE_2=0$, 而    $$\beex    \bea    \int_Ef(x)\rd x    &=\int_{E_1}f(x)\rd x        +\int_{E_2}f(x)\rd x\\    &=\int_{E_1}f(x)\rd x\\    &\leq \int_{E_1}g(x)\rd x\quad\sex{0\leq \phi \leq f\ra 0\leq \phi\leq g}\\    &=\int_{E_1}g(x)\rd x        +\int_{E_2}g(x)\rd x\\    &=\int_E g(x)\rd x.    \eea    \eeex$$

(6) $\dps{f=g,\ae\ra \int_E f(x)\rd x=\int_E g(x)\rd x}$.    
    特别地, $\dps{f=0,\ae\ra \int_Ef(x)\rd x=0}$.

(7) (Levi 单增列)    $$\bex    f_i\mbox{ 单增}, \lim_{i\to\infty}f_i=f\ra    \lim_{i\to\infty}\int_E f_i(x)\rd x    =\int_E f(x)\rd x.    \eex$$

证明: 由 $f_i\leq f$ 知 $\leq$. 往证 $\geq$. 对 $\forall\ 0\leq \phi\leq f$, $\forall\ 0<c<1$,    $$\beex    \bea    &\quad \int_Ef_i(x)\rd x        \geq \int_{E_i}f_i(x)\rd x        \geq c\int_{E_i}\phi(x)\rd x        \quad\sex{E_i=E[f_i\geq c\phi]}\\    &\ra \int_E f_i(x)\rd x\geq c\int_E \phi(x)\rd x\quad\sex{E_i\mbox{ 单增}, \cup_{i=1}^\infty E_i=E:\mbox{ 这里需要 }0<c<1!}.    \eea    \eeex$$

(8) (正线性性)    $\dps{\int_E[\alpha f(x)+\beta g(x)]\rd x    =\alpha \int_E f(x)\rd x    +\beta \int_E g(x)\rd x}$.

证明:    $$\beex    \bea    &\quad 0\leq \phi_i\nearrow f,\quad    0\leq \psi_i\nearrow g\\    &\ra 0\leq \alpha \phi_i+\beta \psi_i\nearrow \alpha f+\beta g\\    &\ra \int_E [\alpha f(x)+\beta g(x)]    \rd x    =\lim_{i\to\infty}\int_E[\alpha \phi_i(x)+\beta \psi(x)]\rd x\\    &\qquad\qquad =\alpha \lim_{i\to\infty}        \int_E\phi_i(x)\rd x        +\beta \lim_{i\to\infty}        \int_E \psi_i(x)\rd x\\    &\qquad\qquad =\alpha \int_E f(x)\rd x    +\beta \int_E g(x)\rd x\quad\sex{\mbox{Levi 单增列}}.    \eea    \eeex$$       (9) (逐项积分) $\dps{\int_E \sum_{i=1}^\infty f_i(x)\rd x        =\sum_{i=1}^\infty \int_Ef_i(x)\rd x}$.

证明:    $$\beex    \bea    \int_E \sum_{i=1}^\infty f_i(x)\rd x    &=\int_E \lim_{j\to\infty}\sum_{i=1}^j f_i(x)\rd x\\    &=\lim_{j\to\infty}\int_E\sum_{i=1}^j f_i(x)\rd x\quad\sex{\mbox{Levi 单增列}}\\    &=\lim_{j\to\infty}\sum_{i=1}^j \int_Ef_i(x)\rd x\\    &=\sum_{i=1}^\infty \int_E f_i(x)\rd x.    \eea    \eeex$$    
    (10) Fatou 引理 $\dps{\int_E \varliminf_{i\to\infty}f_i(x)\rd x\leq \varliminf_{i\to\infty}\int_Ef_i(x)\rd x}$.    
   证明:    $$\beex    \bea    \int_E\varliminf_{i\to\infty}f_i(x)\rd x    &=\int_E \lim_{j\to\infty}\inf_{i\geq j}f_i(x)\rd x\\    &=\lim_{j\to\infty}\int_E\inf_{i\geq j}f_i(x)\rd x\quad\sex{\mbox{Levi 单增列}}\\    &\leq \varliminf_{j\to\infty}        \int_Ef_j(x)\rd x        \quad\sex{\inf_{i\geq j}f_i\leq f_j\mbox{ 两边积分后取下极限}}.    \eea    \eeex$$

3 例

(1) 设 $\sed{r_k}$ 是 $[0,1]$ 中的全体有理数, 则    $$\bex    \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2\sqrt{|x-r_k|}}\ae\mbox{ 收敛}.    \eex$$    证明:    $$\bex    \int_{[0,1]}\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2\sqrt{|x-r_k|}}\rd x    =\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k^2} \int_{[0,1]}\frac{1}{\sqrt{|x-r_k|}}\rd x<\infty.    \eex$$

(2) 设 $\sed{E_i}_{i=1}^j\ (\subset [0,1])$ 可测, $[0,1]$ 中任一点均属于 $\sed{E_i}_{i=1}^j$ 中的 $q$ 个, 则 $\exists\ i_0,\st mE_{i_0}\geq q/j$.

证明:    $$\bex    \sum_{i=1}^j \chi_{E_i}(x)\geq q    \ra \sum_{i=1}^j mE_i=\sum_{i=1}^j \int_{[0,1]}\chi_{E_i}(x)\rd x    =\int_{[0,1]}\sum_{i=1}^j \chi_{E_i}(x)\rd x    \geq q.    \eex$$

4 作业: Page 132 T 6, Page 133 T 7.