求经过两点的直线的表达式(Leetcode.149)

在刷Leetcode的时候，第149题需要求经过两点的直线的表达式，所以总结一下如何用代码求出经过两点的直线的表达式

注：只考虑 x, y 为整数的情况，且不考虑计算中整型溢出的情况

求直线表达式需要解决的问题

1.求坐标系中经过两点的直线的表达式

表达式的形式为：y = a * x + b

根据两个点的坐标得到方程式：

①. y1 = a * x1 + b

②. y2 = a * x2 + b

得出 a 和 b 的表达式为（x1 - x2 不为 0 的情况下）：

a = (y1 - y2)/(x1 - x2)

b = (x1 * y2 - x2 * y1)/(x1 - x2)

2.分数化简为真分数

由于 a, b 都可能为无限小数，且计算机存储浮点数存在精度问题，需要将 a, b 都用分数表示

若 a, b 不是真分数，那么同一条直线可能会有多条表达式，所以需要将 a, b 都化简为真分数

分数化简为真分数方法是：分子分母同时除以分子分母的最大公约数

3.求最大公约数

使用辗转相除法

求表达式相关代码

public class Util {private static final String ZERO = "0";/*** 求坐标系中经过两点的直线的表达式* <p>* 表达式的形式为：y = a * x + b* <p>* 根据两个点的坐标得到方程式：* ①. y1 = a * x1 + b* ②. y2 = a * x2 + b* <p>* 得出 a 和 b 的表达式为（x1 - x2 不为 0 的情况下）：* a = (y1 - y2)/(x1 - x2)* b = (x1 * y2 - x2 * y1)/(x1 - x2)** @param point1 第一个点的坐标* @param point2 第二个点的坐标* @return 经过point1和point2的直线的表达式*/public static String getExpression(int[] point1, int[] point2) {if (point1.length != 2 || point2.length != 2) {throw new IllegalArgumentException("无效的点坐标");}if (point1[0] == point2[0] && point1[1] == point2[1]) {throw new IllegalArgumentException("两个点的坐标不能相同");}int x1 = point1[0];int y1 = point1[1];int x2 = point2[0];int y2 = point2[1];// 如果x1 == x2，无法套用公式，直接返回int denominator = x1 - x2;if (denominator == 0) {return "x = " + x1;}int numerator = y1 - y2;String a = fractionSimplification(denominator, numerator);numerator = x1 * y2 - x2 * y1;String b = fractionSimplification(denominator, numerator);String expression;if (ZERO.equals(a)) {expression = "y = " + b;} else if (ZERO.equals(b)) {expression = "y = " + a + " * x";} else {expression = "y = " + a + " * x + " + b;}return expression;}/*** 分数化简为真分数** @param denominator 分母* @param numerator   分子* @return 真分数 分子/分母*/public static String fractionSimplification(int denominator, int numerator) {if (denominator == 0) {throw new IllegalArgumentException("分母不能为0");}if (numerator == 0) {return ZERO;}String simpleFraction = new String();if (numerator % denominator == 0 && numerator / denominator != 0) {// 如果 分子/分母 为整数，相除的结果即为化简结果simpleFraction += numerator / denominator;} else {// 分数化简就是分母分子同时除以它们的最大公约数int gcd = gcd(denominator, numerator);simpleFraction = (numerator / gcd) + "/" + (denominator / gcd);}return simpleFraction;}/*** 求最小公倍数** @param a 第一个数* @param b 第二个数* @return 最小公倍数*/public static int gcd(int a, int b) {return b == 0 ? a : gcd(b, a % b);}public static void main(String[] args) {int[] a = {1, 1};int[] b = {1, 2};int[] c = {3, 2};int[] d = {1, 2};int[] e = {0, 0};int[] f = {1, 3};int[] g = {0, 1};int[] h = {1, 3};int[] i = {2, 4};int[] j = {5, 2};System.out.println(getExpression(a, b));System.out.println(getExpression(c, d));System.out.println(getExpression(e, f));System.out.println(getExpression(g, h));System.out.println(getExpression(i, j));}
}

解题

题目描述：

给你一个数组 points ，其中 points[i] = [xi, yi] 表示 X-Y 平面上的一个点。求最多有多少个点在同一条直线上。

思路：

1.求出每两个点之间的直线表达式

2.统计每个表达式出现的次数，次数最多的表达式即为点最多的直线

3.根据表达式出现的次数求出点的个数：
n个点两两组合方式有 count = C(n, 2) = n!/(2! * (n-2)!) = (n² - n)/2 种

所以直线表达式的出现次数count与点的个数n之间的关系为: count = (n² - n)/2

解方程：

Δ = √(b² - 4ac) = √(1/4 + 2 * count)
n = 1/2 ± √(1/4 + 2 * count)
∵ count为非负整数
∴ min(Δ) = 1/2
∵ n > 0
∴ n = 1/2 + √(1/4 + 2 * count)

代码：

import java.util.HashMap;
import java.util.Map;class Solution {private static final String ZERO = "0";/*** 求坐标系中经过两点的直线的表达式* <p>* 表达式的形式为：y = a * x + b* <p>* 根据两个点的坐标得到方程式：* ①. y1 = a * x1 + b* ②. y2 = a * x2 + b* <p>* 得出 a 和 b 的表达式为（x1 - x2 不为 0 的情况下）：* a = (y1 - y2)/(x1 - x2)* b = (x1 * y2 - x2 * y1)/(x1 - x2)** @param point1 第一个点的坐标* @param point2 第二个点的坐标* @return 经过point1和point2的直线的表达式*/public static String getExpression(int[] point1, int[] point2) {if (point1.length != 2 || point2.length != 2) {throw new IllegalArgumentException("无效的点坐标");}if (point1[0] == point2[0] && point1[1] == point2[1]) {throw new IllegalArgumentException("两个点的坐标不能相同");}int x1 = point1[0];int y1 = point1[1];int x2 = point2[0];int y2 = point2[1];// 如果x1 == x2，无法套用公式，直接返回int denominator = x1 - x2;if (denominator == 0) {return "x = " + x1;}int numerator = y1 - y2;String a = fractionSimplification(denominator, numerator);numerator = x1 * y2 - x2 * y1;String b = fractionSimplification(denominator, numerator);String expression;if (ZERO.equals(a)) {expression = "y = " + b;} else if (ZERO.equals(b)) {expression = "y = " + a + " * x";} else {expression = "y = " + a + " * x + " + b;}return expression;}/*** 分数化简为真分数** @param denominator 分母* @param numerator   分子* @return 真分数 分子/分母*/public static String fractionSimplification(int denominator, int numerator) {if (denominator == 0) {throw new IllegalArgumentException("分母不能为0");}if (numerator == 0) {return ZERO;}String simpleFraction = new String();if (numerator % denominator == 0 && numerator / denominator != 0) {// 如果 分子/分母 为整数，相除的结果即为化简结果simpleFraction += numerator / denominator;} else {// 分数化简就是分母分子同时除以它们的最大公约数int gcd = gcd(denominator, numerator);simpleFraction = (numerator / gcd) + "/" + (denominator / gcd);}return simpleFraction;}/*** 求最小公倍数** @param a 第一个数* @param b 第二个数* @return 最小公倍数*/public static int gcd(int a, int b) {return b == 0 ? a : gcd(b, a % b);}public static int maxPoints(int[][] points) {// 先获取每个点与其它任一点构成的直线表达式，并统计每个表达式的数量Map<String, Integer> expressionCountMap = new HashMap<>();for (int firstIndex = 0; firstIndex < points.length - 1; firstIndex++) {for (int secondIndex = firstIndex + 1; secondIndex < points.length; secondIndex++) {String expression = getExpression(points[firstIndex], points[secondIndex]);Integer count = expressionCountMap.get(expression);if (count == null) {expressionCountMap.put(expression, 1);} else {expressionCountMap.put(expression, count + 1);}}}// 出现次数最多的表达式即为点最多的直线的表达式int maxCount = 0;for (Map.Entry<String, Integer> entry : expressionCountMap.entrySet()) {if (entry.getValue() > maxCount) {maxCount = entry.getValue();}}// n个点两两组合方式有 C(n, 2) = n!/(2! * (n-2)!) = (n² - n)/2 种// 所以我们点最多的直线表达式的出现次数count与点的个数n之间的关系为: count = (n² - n)/2// 解方程：// Δ = √(b² - 4ac) = √(1/4 + 2 * count)// n = 1/2 ± √(1/4 + 2 * count)// ∵ count为非负整数// ∴ min(Δ) = 1/2// ∵ n > 0// ∴ n = 1/2 + √(1/4 + 2 * count)return (int) (0.5 + Math.sqrt((0.25 + 2 * maxCount)));}
}

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