坦克世界WOT圣诞碎片抽箱子活动最优策略
坦克世界WOT圣诞碎片抽箱子活动最优策略
坦克世界圣诞可以通过使用碎片抽取邮票，每个相簿含有70张邮票，集齐可以换取皮肤。其中，有三种抽取的策略。
- 通过1250碎片抽取指定相簿的随机邮票，如果抽到重复的，分解该邮票可以返还100点碎片
- 通过3500碎片抽到不重复的邮票。
- 使用充能器直接抽取不重复的邮票。但是充能器的数量有限，我们在此不做考虑。
那么，采用怎么样的策略才能使得消耗的碎片的数学期望最小呢？
首先研究第一种方法。我们设抽取kkk次可以抽到我们没有抽到过的邮票，此时设我们还有xxx张邮票没有抽到。那么进行一次抽取，抽取到我们没有的邮票的概率为x70\frac{x}{70}70x。记p=x70p=\frac{x}{70}p=70x
所以我们能够看到，第一次就抽到的概率是
ppp
抽两次抽到的概率为
p(1−p)p(1-p)p(1−p)
抽n次抽到的概率为
p(1−p)n−1p(1-p)^{n-1}p(1−p)n−1
那么，抽取的花费是多少呢？考虑到如果没有抽到可以返还100点碎片，很容易看出来，抽n次花费的碎片为
1250+(n−1)∗11501250+(n-1)*11501250+(n−1)∗1150
整理为
100+1150n100+1150n100+1150n
故整个抽取的数学期望可以表示为
∑i=1∞p(1−p)i−1(100+1150i)\sum_{i=1}^{\infty} p(1-p)^{i-1}(100+1150i) i=1∑∞p(1−p)i−1(100+1150i)
整理为
∑i=1∞p(1−p)i−1100+∑i=1∞p(1−p)i−11150i\sum_{i=1}^{\infty} p(1-p)^{i-1}100+\sum_{i=1}^{\infty} p(1-p)^{i-1}1150i i=1∑∞p(1−p)i−1100+i=1∑∞p(1−p)i−11150i
通过数列的性质，不难证明
∑i=1∞p(1−p)i−1=1\sum_{i=1}^{\infty} p(1-p)^{i-1}=1i=1∑∞p(1−p)i−1=1
∑i=1∞p(1−p)i−1i=1/p\sum_{i=1}^{\infty} p(1-p)^{i-1}i=1/pi=1∑∞p(1−p)i−1i=1/p
则我们就得到了还有x个邮票没抽到的时候，抽到一个我们没有的邮票的整体花费的数学期望：
cost=100+1150/pcost=100+1150/pcost=100+1150/p
cost=100+1150∗70/xcost=100+1150*70/xcost=100+1150∗70/x
那么，当我们还有24个邮票没有抽到的时候，花费的数学期望为3454，比用3500硬抽便宜。
当还有23个邮票没抽到的时候，花费的数学期望为3600，比硬抽贵。
那么，策略就显而易见了，如果只抽一个相簿，那么，在还有24个及24个邮票没抽到的时候，采用随机抽取。之后，使用3500碎片或者充能器抽取。
那么问题来了，还有一种抽法，是使用1500抽取对应类别的邮票，如果考虑这种情况，概率又是怎么样呢？因为每种类别的邮票不同，所以这里设我们要抽取对应的某种邮票的总数为mmm，还有yyy张此种邮票没有抽取到。那么抽取到的概率为q=y/mq=y/mq=y/m
则花费的数学期望为
∑i=1∞p(1−p)i−1(100+1400i)\sum_{i=1}^{\infty} p(1-p)^{i-1}(100+1400i) i=1∑∞p(1−p)i−1(100+1400i)
cost=100+1400/qcost=100+1400/q cost=100+1400/q
q=y/mq=y/m q=y/m
具体采用随机抽还是分类抽，需要根据具体情况进行计算才知道呢
我们能够发现，当没有的图片占比高于0.34时，随机抽取是有利的。那么如果分类抽取的话，占比需要高于0.41左右。随机抽和分类抽哪个更有利，需要根据具体情况进行计算，不过从图形来看绝大多数情况是随机抽过更便宜呢。
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