了解傅里叶变换的性质,对于求解信号的傅里叶变换会有帮助,但是通常来说,可以通过使用EDA工具,如MATLAB等进行仿真求得。这里仅做总结。

傅里叶变换的性质:

如果存在信号 f ( t ) f(t) f(t),则其傅里叶变换记为 F ( j ω ) F(j\omega) F(jω)。

  1. 线性特性:

    • 信号和的傅里叶变换等于信号的傅里叶变换的和
    • a ⋅ f 1 ( t ) + b ⋅ f 2 ( t ) ⟷ a ⋅ F 1 ( j ω ) + b ⋅ F 2 ( j ω ) a\cdot f_1(t) +b\cdot f_2(t) \longleftrightarrow a\cdot F_1(j\omega)+b\cdot F_2(j\omega) a⋅f1​(t)+b⋅f2​(t)⟷a⋅F1​(jω)+b⋅F2​(jω)
  2. 延时特性:

    • 信号 f ( t ) f(t) f(t)时域上延时 f ( t − t 0 ) f(t-t_0) f(t−t0​),对应到频域是在原信号 f ( t ) f(t) f(t)傅里叶变换 F ( j ω ) F(j\omega) F(jω)上乘以 e j ω t 0 e^{j\omega t_0} ejωt0​
    • f ( t − t 0 ) ⟷ F ( j ω ) e − j ω t 0 f(t-t_0)\longleftrightarrow F(j\omega)e^{-j\omega t_0} f(t−t0​)⟷F(jω)e−jωt0​
  3. 移频特性:

    • 这是一个与延时特性对偶的性质,即如果在时域上将信号乘以 e j ω c t e^{j\omega_c t} ejωc​t,则对应的频域将延迟 ω c \omega_c ωc​
    • f ( t ) e j ω c t ⟷ F [ j ( ω − ω c ) ] f(t)e^{j\omega_c t} \longleftrightarrow F[j(\omega-\omega_c)] f(t)ejωc​t⟷F[j(ω−ωc​)]
    • 这个性质有一个推论:即AM波调制: f ( t ) c o s ( ω c t ) ⟷ 1 2 { F [ j ( ω + ω c ) ] + F [ j ( ω − ω c ] } f(t)cos(\omega_c t) \longleftrightarrow \frac{1}{2}\{F[j(\omega +\omega_c)]+F[j(\omega -\omega_c]\} f(t)cos(ωc​t)⟷21​{F[j(ω+ωc​)]+F[j(ω−ωc​]}
  4. 尺度变换:

    • 信号的宽度 τ \tau τ在时间上压缩a倍,信号的频率宽度B将在频率上扩展a倍。
    • f ( a t ) ⟷ 1 ∣ a ∣ F ( j ω a ) f(at) \longleftrightarrow \frac{1}{\vert{a}\vert} F(j\frac{\omega}{a}) f(at)⟷∣a∣1​F(jaω​)
  5. 奇偶特性:

    如果 f ( t ) f(t) f(t)是实数信号:

    • F ( j ω ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( t ) e − j ω t d t F(j\omega) = \int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-j\omega t}dt F(jω)=∫−∞+∞​f(t)e−jωtdt

      = ∫ − ∞ + ∞ f ( t ) c o s ( ω t ) d t − j ∫ − ∞ + ∞ f ( t ) s i n ω t ) d t = \int_{-\infty}^{+\infty}f(t)cos(\omega t)dt - j\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)sin\omega t)dt =∫−∞+∞​f(t)cos(ωt)dt−j∫−∞+∞​f(t)sinωt)dt

      = R ( ω ) − j X ( ω ) = ∣ F ( j ω ) ∣ e j φ ( ω ) = R(\omega) - jX(\omega)=\vert F(j\omega) \vert e^{j\varphi (\omega)} =R(ω)−jX(ω)=∣F(jω)∣ejφ(ω)

    • R ( ω ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( t ) c o s ( ω t ) d t R(\omega) = \int_{-\infty}^{+\infty}f(t)cos(\omega t)dt R(ω)=∫−∞+∞​f(t)cos(ωt)dt,是 F ( j ω ) F(j\omega) F(jω)的实部, $X(\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)sin(\omega t)dt , 是 ,是 ,是F(j\omega$的虚部。

    • ∣ F ( j ω ) ∣ \vert F(j\omega) \vert ∣F(jω)∣是 F ( j ω ) F(j\omega) F(jω)的幅度

    • φ ( ω ) = a r c t a n ( X ( ω ) R ( ω ) ) \varphi(\omega) = arctan(\frac{X(\omega)}{R(\omega)}) φ(ω)=arctan(R(ω)X(ω)​),是 F ( j ω ) F(j\omega) F(jω)的相角

    • 实部是 ω \omega ω的偶函数,虚部是 ω \omega ω的奇函数

    • 幅度 ∣ F ( j ω ) ∣ \vert F(j\omega) \vert ∣F(jω)∣是 ω \omega ω的偶函数, φ ( ω ) = a r c t a n ( X ( ω ) R ( ω ) ) \varphi(\omega) = arctan(\frac{X(\omega)}{R(\omega)}) φ(ω)=arctan(R(ω)X(ω)​)是 ω \omega ω的奇函数

    • f ( − t ) ⟷ F ( − j ω ) f(-t) \longleftrightarrow F(-j\omega) f(−t)⟷F(−jω), f ∗ ( t ) ⟷ F ∗ ( − j ω ) f^*(t) \longleftrightarrow F^*(-j\omega) f∗(t)⟷F∗(−jω), f ∗ ( − t ) ⟷ F ∗ ( j ω ) f^*(-t) \longleftrightarrow F^*(j\omega) f∗(−t)⟷F∗(jω)

  6. 对称特性:

    • 如果 f ( t ) ⟷ F ( j ω ) f(t) \longleftrightarrow F(j\omega) f(t)⟷F(jω),则 F ( j t ) ⟷ 2 π f ( − ω ) F(jt) \longleftrightarrow 2\pi f(-\omega) F(jt)⟷2πf(−ω)
  7. 微分特性:

    • 如果 d d t f ( t ) \frac{d}{dt}f(t) dtd​f(t)满足Direchlet条件,则: d d t d t ⟷ j ω F ( j ω ) \frac{d}{dt}dt \longleftrightarrow j\omega F(j\omega) dtd​dt⟷jωF(jω)
    • d n d t n f ( t ) ⟷ ( j ω ) n F ( j ω ) \frac{d^n}{dt^n}f(t) \longleftrightarrow (j\omega)^nF(j\omega) dtndn​f(t)⟷(jω)nF(jω)
  8. 积分特性:

    • ∫ − ∞ t f ( τ ) d τ ⟷ π F ( 0 ) δ ( ω ) + 1 j ω F ( j ω ) \int_{-\infty}^{t}f(\tau)d\tau \longleftrightarrow \pi F(0)\delta(\omega) + \frac{1}{j\omega}F(j\omega) ∫−∞t​f(τ)dτ⟷πF(0)δ(ω)+jω1​F(jω)
  9. 频域的微积分:

    • − j t ⋅ f ( t ) ⟷ d d ω F ( j ω ) -jt\cdot f(t) \longleftrightarrow \frac{d}{d\omega}F(j\omega) −jt⋅f(t)⟷dωd​F(jω)
    • π f ( 0 ) δ ( t ) + j f ( t ) t f ( t ) ⟷ ∫ − ∞ ω F ( j Ω ) d Ω \pi f(0) \delta(t) +j\frac{f(t)}{t}f(t) \longleftrightarrow \int_{-\infty}^{\omega}F(j\Omega)d\Omega πf(0)δ(t)+jtf(t)​f(t)⟷∫−∞ω​F(jΩ)dΩ
    • π δ ( t ) + j 1 t f ( t ) ⟷ ∫ − ∞ ω F ( j Ω ) d Ω \pi \delta(t)+ j\frac{1}{t}f(t) \longleftrightarrow \int_{-\infty}^{\omega}F(j\Omega)d\Omega πδ(t)+jt1​f(t)⟷∫−∞ω​F(jΩ)dΩ
    • ( − j t ) n f ( t ) ⟷ d n d ω n F ( j ω ) (-jt)^nf(t) \longleftrightarrow \frac{d^n}{d\omega^n}F(j\omega) (−jt)nf(t)⟷dωndn​F(jω)
  10. 卷积定理:

    • 时域的卷积等于频域的乘积,时域的乘积等于频域的卷积
    • f 1 ( t ) ∗ f 2 ( t ) ⟷ F 1 ( j ω ) ⋅ F 2 ( j ω ) f_1(t) * f_2(t) \longleftrightarrow F_1(j\omega) \cdot F_2(j\omega) f1​(t)∗f2​(t)⟷F1​(jω)⋅F2​(jω)
    • f 1 ( t ) ⋅ f 2 ( t ) ⟷ 1 2 π F 1 ( j ω ) ∗ F 2 ( j ω ) f_1(t)\cdot f_2(t) \longleftrightarrow \frac{1}{2\pi} F_1(j\omega)*F_2(j\omega) f1​(t)⋅f2​(t)⟷2π1​F1​(jω)∗F2​(jω)

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