【图神经网络】——“斯坦福CS224W”课程笔记（三）

03 - Motifs and structural Roles in Networks

本文是我在学习斯坦福大学2019年秋季课程 “图机器学习”（图神经网络）时所记录的笔记。课程资源如下列出，其中slides都可在官网找到；另斯坦福CS224w课程的学生记录了部分笔记在github上开源，可以作为学习参考。

官网：http://snap.stanford.edu/class/cs224w-2019/
课程视频：http://snap.stanford.edu/class/cs224w-videos-2019/
课程笔记（英文）：https://snap-stanford.github.io/cs224w-notes/

本节课主要讨论子图分解在图分析中的重要作用。

1 简介

图可以看作是由许多子图（subgraph）构建而成的。这些子图能够刻画和区分不同的图。例如下面这个电路图可以分解为许多子图。

有一些固定的子图结构，这些子图反应了某种特殊的结构特征，因此我们需要了解和熟悉它们。这里列举了13种包含3个结点的有向子图（非同构的）。

我们用一个“重要性”系数来表示某个子图在一个图中出现的频率程度（后面会有严格定义）。如果是正数表明出现频率很高（over-representation）;否则出现频率较低（under-representation）。例如下图对于1号子图，在Language networks类图中出现频率就很高，而在其他三种类型图中出现频率较低。并且属于同一种类型图的模型具有相似的子图重要性表现（例如英文和法文同属Language networks）。

那么子图如何来定义？“重要性”又是如何计算得到的？如何通过局部结构来刻画图？这些问题会在下面一一介绍。

2 基本定义

2.1 motifs

如何来定义motifs？我理解的motifs就是具有一定模式结构并且频繁出现的子图。这里用“模式”、“重复出现”和“重要性”三个指标来刻画motifs。它可以帮助我们去理解网络是如何工作的，帮助我们预测某种特定情况下网络的动作和反应。

模式。我们要在一个图中匹配某个模式子图时，一定是有相同的结点数、边数和连接方向。例如下面红色框内的子图就不匹配，因为多了一条边；而右边的则匹配。
重复出现。即某个模式在图中可以匹配多次。注意这里允许多个匹配的子结构重叠，例如下图motifs匹配右图，中间的矩形在四个子结构中均出现，但这可以算做4次出现。
重要性。这里给出了重要性的数学定义。它其实是与同类型的随机图模型做比较得出的。即对于某一个motifs，计算目标图中motifs出现的次数，以及对应随机图（可能有多个随机图）中motifs出现次数的均值，相减后除以随机图中motifs出现次数的标准差。而SP则是将Z-score归一化，使得对于不同网络计算得到的Z-score值都处于0-1之间，便于比较。

2.2 构建随机图

那么现在问题主要就是如何构造对应的随机图？随机图具有和目标图一样的结点数、边数和对应结点的度分布。前两者很好构造，关键在于第三者。主要有两种方法来构建。

Configuration model（配置模型）。我们可以从目标图中获取每个结点的度k_i；然后我们将每个结点扩展为k_i个结点，随机地连接任意两个结点，得到和目标图同样数量的边；最后将每个框内结点再聚合为一个结点，就能得到一个随机图。这里有个问题：对于某些结点之间可能生成两条边（或更多），我们仅选择其中一条边，如下图A->B有两条边，但是我们只选择其中一条。对于自环边，我们将其忽略。

Jure教授也讲到选择将其忽略的原因是对于大型图这种情况的出现概率是比较小的，因此我们可以将其看作是噪音；虽然存在一种方法可以避免双向边和自环的出现，就是在随机连边时加入一些限制，例如同框内结点不能相连、任意两框之间只能连一条边等，但是这样破坏了随机性，最终生成的图就不是随机图了，因此不可取。
switching（交换边）。另外一种生成随机图的方法，在给定图中做Q*|E|次交换操作，Q是选定的一个数，|E|是给定图的边的个数。交换操作定义如下图所示。通过多次交换，整个图可以收敛，此时生成一个随机图。

最后这里举了一个栗子来梳理一下计算motifs重要性的过程，可以作为总结。

Motifs也有很多变种，主要包含对motifs本身定义的变种、以及对于一些概念（例如重要性的度量、随机图的限制等）的变种。如下图总结。

3 Graphlets

这里又要介绍一个新的概念——Graphlets，但是也没有多新，和上面motifs很类似，也是用来表示子图结构。

3.1 什么是Graphlets

Graphlets是指连通的异构子图。对于不同结点数的连通子图，通常存在确定数量的异构子图，如下图所示。

例如对于结点数为3的子图，就存在2个Graphlets；结点数为4的子图存在6个Graphlets等等。如果你还能找出另一个形状的子图那么它一定和下面某一个子图是同构的